Le cercle de Conway
Réponses
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Bonjour
il semble y avoir une similitude directe entre le triangle A'B'C' et le triangle ABC cherché .
Les cercles de centre P , Q et R ont pour rayon respectivement QR , RP et PQ .
Cordialement -
Le triangle associé au triangle de côtés 3, 4, 5 n'est visiblement pas rectangle.
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Merci Soland pour ce beau problème.
Voici ma propre figure qui peut contribuer à la recherche de la solution.
Tes notations ne sont pas très heureuses mais j'ai fait avec!
Sur ma figure: $AQ=AQ'=a=BC$, $BR=BR'=b=CA$, $CP=CP'=c=AB$.
Le centre $I$ du cercle de Conway est le centre du cercle inscrit du triangle $ABC$.
Les triangles $PQR$ et $Q'R'P'$ se déduisent l'un de l'autre par une rotation de centre $I$.
Les cercles en pointillé suggèrent que la classe de similitude directe du triangle $ABC$ est connue!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Bonjour fm_31
Quelle est ta définition de tes cercles en pointillé?
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Bonjour
Pappus wrote : "Les cercles en pointillé suggèrent que la classe de similitude directe du triangle $ABC$ est connue!"
Si $pqr$ est le triangle orthique de $PQR$, alors $ABC$ et $rpq$ sont directement semblables.
Amicalement. Poulbot -
Bonjour Poulbot
Encore la preuve qu'il faudrait changer les notations de Soland pour rendre les énoncés plus agréables!
On avance vers la solution!
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Si $pqr$ est le triangle podaire de $PQR$, par rapport à quel point?Poulbot a écrit:Si $pqr$ est le triangle podaire de $PQR$, alors $ABC$ et $rpq$ sont directement semblables.
J'ai donné, il y a quelques années, la construction du triangle podaire directement semblable à un triangle donné! -
Bonsoir Pappus
Je voulais dire triangle orthique (podaire de l'orthocentre).
Avec toutes mes excuses.
Amicalement. Poulbot -
Bonsoir Soland,
Il me semble que l'on peut effectivement construire le triangle ABC à partir du triangle PQR :
1 - choisir un (petit) cercle concentrique avec le cercle PQR et mener les tangentes issues de P, Q et R comme sur la figure initiale,
2 - le triangle "ABC" obtenu n'est pas le bon, mais il est semblable au triangle ABC cherché et son "triangle de Conway" est semblable à PQR,
3 - on construit alors le triangle de Conway en question et on ramène la figure sur PQR à l'aide de la similitude ad hoc.
Cordialement,
C. N. -
Résumé des épisodes précédents.
Avec, en particulier, la construction de C. Nadault, allégée :
Construire le cercle K circonscrit à PQR.
Construire le triangle T circonscrit à K, tangences en PQR.
Construire le cercle de Conway de T.
S'inspirer du dessin... -
Bonjour
Effectivement, $BCA$ est image du triangle tangentiel de $PQR$ par une similitude directe de centre $I$ (cela colle avec ce que je disais plus haut car le triangle orthique et le triangle tangentiel d'un triangle donné sont homothétiques).
$PQR$ étant donné, la condition d'existence de $ABC$ devrait être $PQR$ acutangle.
Amicalement. Poulbot -
Bonjour
Voici sur ma dernière figure la belle construction de Catherine que je précise:
Il y a en effet deux tangentes issues de $P$ au petit cercle, laquelle choisir?Catherine Nadault a écrit:1 - choisir un (petit) cercle concentrique avec le cercle PQR et mener les tangentes issues de P, Q et R comme sur la figure initiale,
1° On choisit un point $A'$ quelconque sur le cercle circonscrit au triangle $PQI$.
2° On récupère les points $B'$ sur le cercle circonscrit au triangle $QRI$ et $C'$ sur le cercle circonscrit au triangle $PRI$ comme indiqués sur ma figure.
Puis on termine comme le fait Catherine.
3° On construit le triangle de Conway $P'Q'R'$ relatif au triangle $A'B'C'$. Il est directement semblable au triangle $PQR$, ce point essentiel mériterait d'être montré!
4° Soit $s$ la similitude directe envoyant $P'Q'R'$ sur $PQR$.
Alors $ABC=s(A'B'C')$.
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
La construction de Soland mériterait des explications plus détaillées! -
La fin de ma construction était bien elliptique, je reprends donc.
Sur le cercle de Conway du triangle T on marque les points P1, Q1 et T1.
Les triangles (P1 Q1 R1) et (PQR) sont semblables (pourquoi ?).
La similitude qui transforme (P1 Q1 R1) en (PQR) envoie aussi
le triangle T en le triangle cherché.
PS. Je ferai mieux la prochaine fois, promis. -
Bonjour
La morale de l'histoire est que cette construction met en évidence le défunt groupe des similitudes directes et c'est pourquoi cet exercice est si intéressant!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Bonjour
Pourquoi un triangle est-il un triangle de Conway si et seulement si il est acutangle?
Amicalement. Poulbot -
Bonsoir Poulbot
A tout hasard, un argument de géométrie contemplative à mettre en forme.
Le point $I$, centre du cercle inscrit du triangle $ABC$ est situé dans son intérieur
D'autre part, après une intense contemplation à faire éclater mes yeux cataractérisés, je trouve que le triangle $ABC$ est situé dans l'intérieur du triangle de Conway $PQR$.
Donc le point $I$ qui est aussi le centre du cercle circonscrit au triangle $PQR$ est situé dans l'intérieur de ce triangle.
Conclusion: $PQR$ est acutangle!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
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