L'homme ne montre son véritable visage qu'une fois qu'il a ôté sa culotte. (Sade)
Losange dans le plan complexe
dans Géométrie
Bonjour,
Dans une feuille de TD de fac (ci-jointe) j'ai trouvé la réponse suivante :
les images des zéros de $z^4 + pz^3 + qz^2 + rz + s$ forment un losange si et seulement si
$ p(4q - p^2) = 8r$ et $32r = p(16q - 3p^2)$.
La première des deux relations exprime que les images forment un parallélogramme ; là, c'est bon.
La seconde relation me rend perplexe.
A+
Dans une feuille de TD de fac (ci-jointe) j'ai trouvé la réponse suivante :
les images des zéros de $z^4 + pz^3 + qz^2 + rz + s$ forment un losange si et seulement si
$ p(4q - p^2) = 8r$ et $32r = p(16q - 3p^2)$.
La première des deux relations exprime que les images forment un parallélogramme ; là, c'est bon.
La seconde relation me rend perplexe.
A+
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Réponses
Comme un losange est un parallélogramme dont les côtés ont même longueur, la seconde relation écrit que les côtés ont même longueur, non ?
Si $p(4q - p^2) = 8r$ et $32r = p(16q - 3p^2)$, alors
$4p(4q - p^2) = 32r$ et $32r = p(16q - 3p^2)$
$4p(4q - p^2) = p(16q - 3p^2)$
$p = 0$
???
Un ancien exo du POX demandait de démontrer que si $P$ est un polynôme de degré $4$, les racines forment un parallélogramme si et seulement si $P'$ et $P'''$ ont une racine commune. C'est simple si on pense au translaté d'un polynôme bicarré.
Si $P(z)=z^4 + pz^3 + qz^2 + rz + s$, le résultant de $P'$ et $P'''$ est $R=1728\left(- p^3 + 4pq - 8r\right)$, d'où la première relation.
Cordialement,
Rescassol
C'est à toi à trouver l'erreur dans le texte. Refais tous les calculs.
De mon côté, je confirme que l'équation $15$ est fausse. Ce n'est pas $32 \sigma_3=16 \sigma_1 \sigma_2-3 \sigma_1^3$ mais $8 \sigma_3=4 \sigma_1 \sigma_2- \sigma_1^3$ car il suffit de substituer $\zeta = {\sigma_1 \over 4}$ dans l'équation $14.$ Donc les deux équations donnent la même relation $8r=p(4q-p^2)$ : si c'est une bêtise, alors le raisonnement dans le texte ou les calculs sont faux.
C'est bien ce que je pensais, mais comme cela provenait de l'université…
Le raisonnement de l'auteur (dans le fichier ci-joint) me semblait déjà faux, car, après avoir déterminé la première relation, il trouve la seconde en disant grosso modo :
$z1\ et \ z3 \ sont\ symétriques\ par\ rapport \ à \ u = (z1 + z2 + z3 + z4)/4 $,
$ z2 - u = ri(z1 - u)$
$z2\ et \ z4 \ sont\ symétriques\ par\ rapport \ à \ u $,
Il me semble que les relations précédentes traduisent que le quadrilatère est un losange… Par conséquent, établir la première relation n'est d'aucune utilité !!!
A+
Les racines forment un parallélogramme si et seulement si $b=0$, ce qui donne la condition $p(4q-p^2)=8r$ puisque $b=\frac{1}{8}(p(p^2-4q)+8r)$. Supposons dans toute la suite que cette condition est réalisée.
Notons $\delta$ une racine carrée de $a^2-4c$. Soient $Z_1$ et $Z_2$ les racines de $Z^2+aZ+c=0$. Soient $z_1$ et $z_ 2$ des racines carrées de $Z_1$ et $Z_2$. Alors les racines de $f$ forment un losange si et seulement si $z_1\overline{z_2}\in i\R$, ce qui équivaut à $Z_1\overline{Z_2}\in \R^-$.
Or, $Z_2\overline{Z_2}=\frac{1}{4}(-a+\delta)\overline{(-a-\delta)}=\frac{|a|^2}{4}((1-|\frac{\delta}{a}|^2)+\overline{(\frac{\delta}{a})}-\frac{\delta}{a})$.
La condition est donc que $\frac{\delta}{a}$ soit un réel et que $|\frac{\delta}{a}|\geqslant 1$. Ceci équivaut à ce que $\frac{\delta^2}{a^2}$ soit un réel $\geqslant 1$. Or, $\frac{\delta}{a}=1-4\frac{c}{a^2}$.
Finalement, les racines de $f$ forment un losange si et seulement si $b=0$ et $a^2\overline{c}\in \R_-$.
L'exercice cité par Rescassol est très intéressant, digne d'une colle.
Pourrait-on généraliser le procédé :
les racines d'un polynôme de degré $2n$ forment un 2n-gone régulier si la dérivée première et la dérivée d'ordre $2n - 1$ ont un zéro commun ?
A+
Après l'avoir récupéré à l'oral du POX (mon fils est tombé dessus), je l'ai moi-même posé en colle.
Pour la proposition de généralisation de Piteux_gore, je n'ai pas le temps maintenant, mais on peut commencer de voir après translation le cas où le polynôme de degré $2n$ est pair.
Cordialement,
Rescassol
Pourquoi ne pas créer un forum Exercices instructifs, qui recenserait des exercices tels que celui cité par Rescassol ?
Chaque exercice sélectionné ferait l'objet d'un fil : avec le temps chacun pourrait y apporter son grain de sel sous la forme d'une solution, d'une extension, d'une généralisation, d'une référence documentaire, etc.
Ne devraient pas y figurer, à mon humble avis, les applications immédiates du cours, ni les exercices que l'on trouve partout, ni les exercices trop élitistes (OIM et autres).
A+