Losange dans le plan complexe

Bonjour,

C'est à toi à trouver l'erreur dans le texte. Refais tous les calculs.
De mon côté, je confirme que l'équation $15$ est fausse. Ce n'est pas $32 \sigma_3=16 \sigma_1 \sigma_2-3 \sigma_1^3$ mais $8 \sigma_3=4 \sigma_1 \sigma_2- \sigma_1^3$ car il suffit de substituer $\zeta = {\sigma_1 \over 4}$ dans l'équation $14.$ Donc les deux équations donnent la même relation $8r=p(4q-p^2)$ : si c'est une bêtise, alors le raisonnement dans le texte ou les calculs sont faux.

Soit $f(z)=z^4 + pz^3 + qz^2 + rz + s$. On écrit $f(z-p/4)$ sous la forme $z^4+az^2+bz+c$.

Les racines forment un parallélogramme si et seulement si $b=0$, ce qui donne la condition $p(4q-p^2)=8r$ puisque $b=\frac{1}{8}(p(p^2-4q)+8r)$. Supposons dans toute la suite que cette condition est réalisée.

Notons $\delta$ une racine carrée de $a^2-4c$. Soient $Z_1$ et $Z_2$ les racines de $Z^2+aZ+c=0$. Soient $z_1$ et $z_ 2$ des racines carrées de $Z_1$ et $Z_2$. Alors les racines de $f$ forment un losange si et seulement si $z_1\overline{z_2}\in i\R$, ce qui équivaut à $Z_1\overline{Z_2}\in \R^-$.

Or, $Z_2\overline{Z_2}=\frac{1}{4}(-a+\delta)\overline{(-a-\delta)}=\frac{|a|^2}{4}((1-|\frac{\delta}{a}|^2)+\overline{(\frac{\delta}{a})}-\frac{\delta}{a})$.

La condition est donc que $\frac{\delta}{a}$ soit un réel et que $|\frac{\delta}{a}|\geqslant 1$. Ceci équivaut à ce que $\frac{\delta^2}{a^2}$ soit un réel $\geqslant 1$. Or, $\frac{\delta}{a}=1-4\frac{c}{a^2}$.

Finalement, les racines de $f$ forment un losange si et seulement si $b=0$ et $a^2\overline{c}\in \R_-$.

Bonjour,

Après l'avoir récupéré à l'oral du POX (mon fils est tombé dessus), je l'ai moi-même posé en colle.

Pour la proposition de généralisation de Piteux_gore, je n'ai pas le temps maintenant, mais on peut commencer de voir après translation le cas où le polynôme de degré $2n$ est pair.

Cordialement,

Rescassol