Des ellipses de Conway ?
dans Géométrie
Bonsoir à tous,
Le fil initié par Soland sur le cercle de Conway a excité ma curiosité, car pour moi, c'était une véritable découverte !
Et je me suis demandé si par "hasard", cette veine ne recelait pas quelques pépites, sans doute déjà connues mais généralement oubliées, comme beaucoup d'autres ...
En partant du triangle ABC et en opérant comme pour construire son cercle de Conway, mais en portant sur les prolongements des côtés, à partir de chaque sommet, le double, le triple, le quadruple ... du côté opposé respectif, on constate que les six points obtenus dans chaque cas se trouvent sur une ellipse, et que les centres des ellipses successives et le centre du cercle de Conway sont alignés ...
Je suppose que cela n'a rien de surprenant, mais j'aimerais bien connaître l'explication de ces résultats ! Merci d'avance.
Bien amicalement
JLB
Le fil initié par Soland sur le cercle de Conway a excité ma curiosité, car pour moi, c'était une véritable découverte !
Et je me suis demandé si par "hasard", cette veine ne recelait pas quelques pépites, sans doute déjà connues mais généralement oubliées, comme beaucoup d'autres ...
En partant du triangle ABC et en opérant comme pour construire son cercle de Conway, mais en portant sur les prolongements des côtés, à partir de chaque sommet, le double, le triple, le quadruple ... du côté opposé respectif, on constate que les six points obtenus dans chaque cas se trouvent sur une ellipse, et que les centres des ellipses successives et le centre du cercle de Conway sont alignés ...
Je suppose que cela n'a rien de surprenant, mais j'aimerais bien connaître l'explication de ces résultats ! Merci d'avance.
Bien amicalement
JLB
Réponses
-
Bonsoir
L'explication?
Très certainement la théorie des $TGV$ ou des $FLTI$
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Merci, Pappus, je me doutais bien qu'il y avait de ça !
Mais s'il te plaît et si ce n'est pas trop te demander, pourrais-tu détailler un peu ? Merci d'avance !
Bien amicalement
JLB -
Mon cher Jelobreuil
Ce n'est qu'une intuition quand je vois les correspondances affines que tu nous montres entre les côtés du triangle $ABC$ mais il se peut que je me trompe!
Cela m'arrive même assez souvent!
Pour le moment, j'essaye de rédiger la partie analytique du problème de Budin.
Quand j'en aurais fini, je regarderai ta configuration!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Bonsoir,
Il me semble que la propriété annoncée par Jelobreuil n'est pas exacte...
Cordialement
C. N. -
Bonsoir Catherine,
Merci de cette mise au point. Il n'est pas impossible que ça ne soit vrai que pour des triangles acutangles, je n'ai pas pris le temps de regarder tous les cas de figure ...
Bien cordialement
JLB -
Bonsoir,
Ce serait sans doute très étonnant...
Cordialement
C.N. -
Comme tu dis, Catherine ...
Les trois figures jointes montrent qu'en effet, j'étais parti un peu trop vite ! Au temps pour moi !
Dans les trois, j'ai demandé à Geogebra de tracer les coniques passant par deux jeux de cinq points, et pour passer de l'une à l'autre, j'ai fait bouger l'un des sommets du triangle, celui entouré d'un halo sur les deux dernières ... On voit bien que ces coniques se distinguent de mieux en mieux à mesure que le triangle devient plus irrégulier.
La leçon qu'il me faut retenir : ne pas se fier aux apparences !
Bien cordialement
JLB -
Bonsoir
Catherine a surement raison.
J'ai refait la figure de Jelobreuil en traçant la conique passant par cinq des six points.
Effectivement on a l'impression que le sixième est sur cette conique mais quand je demande au logiciel si ce sixième point est oui ou non sur cette conique, il me répond non!
Que le triangle $ABC$ soit acutangle ou non ne joue aucun rôle dans ce problème!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
On pourrait retrousser la question comme une chaussette (c'est l'heure des chaussettes) :
Toutes choses égales par ailleurs on reporte $xa$, $yb$, $zc$ au lieu de
$a$, $b$, $c$ et on se demande à quelle(s) condition(s) sur $(x,y,z)$
les six points obtenus sont cocycliques ou coconiques (on voudra
bien me pardonner ce néologisme quelque peu chevalin).
Vu sous cet angle le triple (1,1,1) conduit au cercle de Conway. -
Sans surprise on trouve des valeurs convenables pour $x$, $y$, $z$ qui conduisent
à n'importe quel cercle concentrique au cercle inscrit, pourvu qu'il contienne le triangle.
Pas d'autres cercles.
Problème mort pour les cercles. -
bonjour à tous,
... dont acte !
Je promets de faire, à l'avenir, sept figures avant de lancer de tels bobards ...
Merci pour cette leçon (qui vaut sûrement beaucoup de fromages !).
Bien cordialement
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