Théorème de Feuerbach-Ayme

Bonjour,

Sur une généralisation de Vladimir Zajic d'un théorème de Jean-Louis Ayme:
On a un triangle quelconque $ABC$ et $UVW$ le triangle de contact de son cercle inscrit de centre I.
Les orthocentres de $ABC$ et $UVW$ sont respectivement $H$ et $H'$.
Les droites $(AH)$ et $(UH')$ se coupent en $A^*$.
Le point de Feuerbach de $ABC$ est $Fe$ (point de tangence du cercle inscrit et du cercle d'Euler).
Alors,le cercle de diamètre $[UA^*]$ (de centre $A_1$) passe par $Fe$.
Ceci est la généralisation de Zajic.

De plus, soient $B_1$ et $C_1$ les centres des cercles obtenus par permutation circulaire.
Alors les triangles $ABC$ et $A_1B_1C_1$ sont en perspective de perspecteur $X_{79}$.
Avec Morley inscrit, on voit qu'on passe de $ABC$ à $A_1B_1C_1$ par la similitude indirecte d'équation
$s(z)=\dfrac{s_2}{2}\overline{z}$ (de centre $I$) et que $x_{79}=\dfrac{2(s_2^2-2s_1s_3)}{s_1s_2-4s_3}$.

Cordialement,

Rescassol

Edit: Correction du titre