Petit exercice

$(DA,DB')=(BA,BB')=(BA,AC)+(AC,BB')=(AB,AC)+\frac{\pi}{2}$.

En échangeant $A$ avec $D$, et $B$ avec $C$, on obtient $(AD,AC')=(DC,DB)+\frac{\pi}{2}$. Comme $(AB,AC)=(DB,DC)$, on en déduit que $(DB',DA)=(AD,AC')$, ce qui permet de conclure.

Soit $S(m)$ la symétrie qui échange $A$ et $C$ et, par construction, $B$ et $B'$ .
Soit $S(n)$ la symétrie qui échange $B$ et $D$ et, par construction, $C$ et $C'$ . On a
$$
\begin{matrix}
&S(m)&&S(n)&\\
A&\longmapsto &C&\longmapsto &C' \\
B'&\longmapsto &B&\longmapsto &D
\end{matrix}
$$
Donc $|AB'|=|C'D|$
et $|AC'|=|B'D|$ : ils soustendent chacun un arc dont la mesure est l'angle de la rotation $S(n)\circ S(m)$ .
$AB'DC'$ est don un parallélogramme croisé.