Un cas d'isométrie ?

Bonjour,



Cordialement,

Rescassol

$$4r^2(a+b+c)=(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)$$

Bonjour
$a,b,c$ étant les longueurs des côtés d'un triangle $T$, on a $4\left( a+b+x\right) \left( r\left( a,b,c\right) ^{2}-r\left( a,b,x\right) ^{2}\right) =\left( x-c\right) P\left( x\right) $ où $P\left( x\right) =x^{2}-\left( a+b-c\right) x-\dfrac{\left( a+b\right) \left( 2\left( a-b\right) ^{2}+c\left( a+b-c\right) \right) }{a+b+c}$.
Il n'est pas difficile de voir que, si $c^{\prime }$ est la racine positive de $P$, on a $\left\vert a-b\right\vert <c^{\prime }<a+b$.
Si $c^{\prime }\neq c$, les triangles de longueurs de côtés $a,b,c^{\prime }$ sont les seuls non isométriques à $T$ pour lesquels $a^{\prime }=a,b^{\prime }=b,r^{\prime }=r$.
Mais on peut parfaitement avoir $c^{\prime }=c$ auquel cas tout triangle $T^{\prime }$ pour lequel $a^{\prime }=a,b^{\prime }=b,r^{\prime }=r$ est isométrique à $T$. C'est le cas, par exemple, d'un triangle isocèle de longueurs des côtés $\left( 1,1,\sqrt{5}-1\right) $.
Amicalement. Poulbot