4 points cocycliques

Rescassol · October 2018

Bonne nuit,

Avec Morley inscrit:

$X_6(x_6)$ est le point de Lemoine du triangle $ABC$ (point de concours des symédianes) avec $x_6=\dfrac{2s_3(-s_1^2s_2+3s_1s_3+2s_2^2)}{2s_1^3s_3-s_1^2s_2^2-4s_1s_2s_3+2s_2^3+9s_3^2}$

$X_{11}(x_{11})$ est le point de Feuerbach du triangle $ABC$ (point de tangence du cercle inscrit et du cercle d'Euler) avec $x_{11}=\dfrac{s_2}{s_1}$

$X_{37}(x_{37})$ est le perspecteur du triangle $ABC$ et du triangle médian (ou médial ?) du triangle formé des pieds des bissectrices (appelé incentral, c'est le triangle cévien du point de Gergonne) avec $x_{37}=\dfrac{s_3(s_1^2s_2-3s_1s_3-2s_2^2)}{s_1^3s_3-7s_1s_2s_3+s_2^3+9s_3^2}$

$X_{55}(x_{55})$ est le centre d'homothétie interne du cercle inscrit et du cercle circonscrit à $ABC$ avec $x_{55}=\dfrac{2s_1s_3}{s_1s_2-3s_3}$.

Montrer alors que ces $4$ points $X_6,X_{11},X_{37},X_{55}$ sont cocycliques.
Le centre de leur cercle circonscrit n'est pas dans l'ETC.

Cordialement,

Rescassol 81134

thule · October 2018

Le caractère parfaitement robotique, totalement déraciné, de cet énoncé me fait penser qu'il faudrait inventer un descripteur d'énoncé automatisé en géométrie.
Je pense qu'il serait possible d'en créer un.
Serait-ce un projet pour Rescassol ?

Rescassol · October 2018

Bonjour,

Non, je n'ai pas l'intention de déléguer le plaisir de m'amuser à faire de la géométrie à un robot.
Je continue à faire joujou avec Géogébra et Matlab, en parcourant à l'occasion quelque sites remplis de renseignements (ETC, Bernard Gibert, JL Ayme, Forum Geometricorum, etc...).
Et ce n'est pas parce que tu ne vois pas les racines que c'est déraciné :-D
Je ne saurais d'ailleurs pas faire un tel robot.

Cordialement,

Rescassol

Bouzar · October 2018

Bonsoir Rescassol,
Tu dis "Le centre de leur cercle circonscrit n'est pas dans l'ETC. " Son écriture en barycentriques est épouvantable. Je ne vois donc pas l'intérêt de le poster. Par contre, tu as sûrement une expression de ce centre avec Morley inscrit..
Amicalement

Rescassol · October 2018

Bonjour,

Bien sûr, Bouzar, en voilà le numérateur et le dénominateur:

NumCentre=s2*s3*(- s1^2*s2 + 3*s3*s1 + 2*s2^2)*(2*s1^7*s3^2 - s1^6*s2^2*s3 - 14*s1^5*s2*s3^2 + 7*s1^4*s2^3*s3 + 15*s1^4*s3^3 + 43*s1^3*s2^2*s3^2 - 27*s1^2*s2^4*s3 - 135*s1^2*s2*s3^3 + 2*s1*s2^6 + 54*s1*s2^3*s3^2 + 81*s1*s3^4 - 27*s2^2*s3^3)
DenCentre=(s3*s1^3 - s2^3)*(3*s3 - s1*s2)*(s1^3*s3 - 7*s1*s2*s3 + s2^3 + 9*s3^2)*(2*s1^3*s3 - s1^2*s2^2 - 4*s1*s2*s3 + 2*s2^3 + 9*s3^2)

Cordialement,

Rescassol

poulbot · October 2018

Bonsoir
puisque nous sommes dans ces jolis petits exercices de géométrie que nous aimons tous, une deuxième question vient naturellement à l'esprit :
donner l'expression du rayon de ce cercle en fonction de $R$, $r$ et du demi-périmètre $p$.
Il y a actuellement plus de $25500$ points dans ETC. Kimberling donne toutes les relations d'alignement entre eux et nous attendons impatiemment les relations de cocyclicité.
Amicalement. Poulbot

Bouzar · October 2018

Bonsoir poulbot,
Sauf erreur, je trouve que le carré du rayon vaut :
$\dfrac{Num}{Denom}$
où
$Num = r^2 R^2 (-p^2 r + r^3 - p^2 R + 8 r^2 R + 16 r R^2) (-3 p^4 +14 p^2 r^2 + r^4 + 28 p^2 r R + 12 r^3 R - 4 p^2 R^2 + 48 r^2 R^2 + 64 r R^3)$
$ (4 p^4 r - 4 p^2 r^3 + p^4 R - 18 p^2 r^2 R + r^4 R - 36 p^2 r R^2 + 12 r^3 R^2 - 4 p^2 R^3 +48 r^2 R^3 + 64 r R^4)$
et
$Denom = (r + R)^2 (-p^2 + r^2 + 4 r R)^2 (p^2 +r^2 + 4 r R)^2 (p^4 + 2 p^2 r^2 + r^4 - 20 p^2 r R + 12 r^3 R - 4 p^2 R^2 + 48 r^2 R^2 + 64 r R^3).$
Amicalement

poulbot · October 2018

Bonjour Bouzar
Quand j'ai écrit mon message sur le ton d'une boutade, je ne pensais pas que quelqu'un se lancerait dans les calculs démentiels débouchant sur la valeur de ce rayon (ou plutôt son carré en ce qui concerne ton résultat). En tout cas, bien que le résultat soit, comme je le soupçonnais, assez indigeste, je ne puis que te faire part de toute mon admiration pour ta maîtrise du calcul barycentrique sur ordinateur.
Amicalement. Poulbot