Un point sur le cercle inscrit

Bonjour
Voici ci-dessous la figure de Bouzar dont j'ai modifié l'étiquetage pour souligner que sa construction reste valable en permutant les sommets.
Quelques réflexions:
S'il ne s'agit que de faire de monstrueux calculs en barycentriques ou en complexes comme ceux qu'on vient de voir dans des fils voisins, cet exercice n'a absolument aucun intérêt.
La solution attendue est donc synthétique. ou doit faire intervenir des groupes de transformations mais pour moi c'est la même chose!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonjour,

Pappus, il ne faut pas exagérer, dans ce cas, les calculs n'ont rien de monstrueux.
Ils sont faisables à la main, sans ordinateur, mais comme je suis paresseux ...

clc, clear all, close all;

% On part du triangle de contact UVW

syms u v w;
syms uB vB wB; % Conjugués

uB=1/u; % Morley's trick avec le cercle inscrit
vB=1/v;
wB=1/w;

syms s1 s2 s3;
syms s1B s2B s3B; % Conjugués

s1=u+v+w;         % Fonctions symétriques
s2=u*v+v*w+w*u;
s3=u*v*w;

s1B=s2/s3;         % Conjugués
s2B=s1/s3;
s3B=1/s3;

%-----------------------------------------------------------------------

a=2*v*w/(v+w); % Sommets du triangle ABC
b=2*w*u/(w+u);
c=2*u*v/(u+v);

aB=2*vB*wB/(vB+wB); % Conjugués
bB=2*wB*uB/(wB+uB);
cB=2*uB*vB/(uB+vB);

%----------------------------------------------

% Point de Feuerbach du triangle ABC

fe=s2/s1;
feB=s2B/s1B;

% Orthocentre du triangle ABC

h=2*(s2^2-s1*s3)/(s1*s2-s3);
hB=2*(s2B^2-s1B*s3B)/(s1B*s2B-s3B);

% Point d'intersection X des droites (HI) et (UV)

[x xB]=IntersectionDeuxDroites(-hB,h,0,1,u*v,-u-v);

x=Factor(x)

% On trouve x=(s2^2-s1*s3)/((u+v)*(u*v+w^2)+2*s3)

% Droite (XFe)

[pxfe qxfe rxfe]=DroiteDeuxPoints(x,fe,xB,feB);

% Point d'intersection W' des droites (XFe) et (WI)

[wp wpB]=IntersectionDeuxDroites(pxfe,qxfe,rxfe,-wB,w,0);

wp=Factor(wp)

% On trouve évidemment wp=-w

Cordialement,

Rescassol