Courbe paramétrée

Les propriétés géométriques ne dépendent pas d'un changement de paramétrage régulier de la courbe.

Deux arcs paramétrés sont équivalents si l'un s'obtient de l'autre par précomposition par un changement de paramètre admissible. Avec des notations : $\gamma:I\to\R^2$ et $\delta:J\to\R^2$ sont équivalents s'il existe un changement de paramètre « admissible » $\phi:I\to J$ tel que $\gamma=\delta\circ\phi$.

Que demande-t-on à un changement de paramètre $\phi:I\to J$ ? Tout d'abord, qu'il soit une bijection ; qu'il soit dérivable pour assurer la dérivabilité de la composée ; mais aussi que la réciproque soit dérivable pour que ça donne une relation réflexive – pour que $\gamma$ soit équivalent à $\delta$ SSI $\delta$ est équivalent à $\gamma$.

Autrement dit, un changement de paramètre est admissible s'il est un difféomorphisme : il faut non seulement qu'il soit bijectif et dérivable mais encore que sa fonction réciproque soit dérivable – ou, ce qui revient au même, que la dérivée ne s'annule pas.

Tu as mis le doigt sur une raison géométrique qui pousse à imposer cette condition (au-delà de la satisfaction intellectuelle de définir une relation d'équivalence) : dans ton exemple, le changement de paramètre $t\mapsto t^3$ n'est pas admissible parce que sa dérivée s'annule en zéro et on a l'impression que ce n'est pas la [edit : peine de finir la phrase ?]


Il y a un vrai enjeu là-dessous : accepte-t-on les arcs paramétrés dont le vecteur dérivé s'annule ? Si oui, on accepte des singularités. Par exemple, voici un coin de classe $C^2$ inspiré par ton exemple [\gamma(t)=\begin{cases}\binom{t^3}{t^3}&\text{si}\ t>0,\\\binom{t^3}{-t^3}&\text{si}\ t\le0.\end{cases}\]En mettant $\mathrm{e}^{-1/|t|}$ à la place de $t^3$, on obtient un coin de classe $C^\infty$. On n'a pas pour autant envie de dire que la réunion de deux demi-droites orthogonale de même origine est une courbe $C^\infty$ !

Cela peut être commode d'accepter ces singularités. Autrement dit, il faut distinguer les singularités du paramétrage et celles de la courbe elle-même. Ce que tu as fait, c'est d'ajouter artificiellement une singularité du paramétrage (en annulant la dérivée) sur une courbe irréprochable ; ce que « j'ai » fait, c'est d'effacer une singularité de la courbe (le coin) en jouant sur le paramétrage (en annulant la dérivée aussi). Il est donc important de contrôler l'annulation de la dérivée.

Une courbe paramétrée f : I -> R^2 (ou R^3) (géométrique ou pas) n'est pas un object géométrique. Autrement dit l'image de la courbe paramétrée ne caractérise pas (f, I). Ce qui signifie qu'à un même sous-ensemble A de R^2 (ou de R^3) peuvent correspondre plusieurs courbes paramétrées différentes pas nécessairement équivalentes entre elles qui ont pour image le même ensemble A.

On peut définir plusieurs notions de tangente. Une tangente géométrique qui ne fait intervenir que l'image de la courbe paramétrée et une notion de tangente qui fait intervenir la paramétrisation. Les deux notions ne sont pas équivalentes.

Tous ces problèmes dérivent du fait que les soit-disants objects géométriques (courbes géométriques, nappes géométriques etc...) qu'on étudie en L1-L2 en réalité n'en sont pas. Alors est-ce qu'on peut résoudre ce dilemne ? Oui, avec la notion de sous-variété différentiable di R^n. Une sous-variete differentiable de R^n est un vraie object géométrique.