Une construction du point de Feuerbach

Réponses

• Rescassol

  October 2018

  Bonjour,
  

  % Problème posé par Bouzar le 23/10/2018
  % Titre: Une construction du point de Feuerbach 
  
  clc, clear all, close all;
  
  % On part du triangle de contact UVW
  
  syms u v w;
  syms uB vB wB; % Conjugués
  
  uB=1/u; % Morley's trick avec le cercle inscrit
  vB=1/v;
  wB=1/w;
  
  syms s1 s2 s3;
  syms s1B s2B s3B; % Conjugués
  
  s1=u+v+w;         % Fonctions symétriques
  s2=u*v+v*w+w*u;
  s3=u*v*w;
  
  s1B=s2/s3;         % Conjugués
  s2B=s1/s3;
  s3B=1/s3;
  
  %-----------------------------------------------------------------------
  
  a=2*v*w/(v+w); % Sommets du triangle ABC
  b=2*w*u/(w+u);
  c=2*u*v/(u+v);
  
  aB=2*vB*wB/(vB+wB); % Conjugués
  bB=2*wB*uB/(wB+uB);
  cB=2*uB*vB/(uB+vB);
  
  %----------------------------------------------
  
  % Point de Feuerbach du triangle ABC
  
  fe=s2/s1;
  feB=s2B/s1B;
  
  % Milieux des côtés du triangle ABC
  
  ap=(b+c)/2;
  bp=(c+a)/2;
  cp=(a+b)/2;
  
  apB=(bB+cB)/2;
  bpB=(cB+aB)/2;
  cpB=(aB+bB)/2;
  
  % Centre N_a du cercle d'Euler du triangle IBC
  
  [na naB]=CentreCercleCirconscrit(b/2,c/2,ap,bB/2,cB/2,apB);
  
  % On trouve na=s2*u/((u+v)*(u+w))
  
  % Point A" d'intersection des droites (IN_a) et (BC)
  
  [as asB]=IntersectionDeuxDroites(-naB,na,0,1,u^2,-2*u);
  
  as=Factor(as);
  
  % On trouve as=2*s2*u/(u^2+2*u*(v+w)+v*w)
  
  % Les points N_a, A', A", Fe sont cocycliques
  
  Bi=Birapport(na,ap,as,fe);
  BiB=Birapport(naB,apB,asB,feB);
  
  NulBi=Factor(Bi-BiB)  % Égal à 0, donc oui !!
  
  % Et bien sûr, par permutation circulaire,  N_b, B', B", Fe 
  % ainsi que  N_c, C', C", Fe sont cocycliques
  

  
  Cordialement,
  
  Rescassol
• Bouzar

  October 2018

  Bonjour Rescassol,
  Merci pour ta contribution.
  Amicalement
• Jean-Louis Ayme

  February 2023 Modifié (February 2023)

  Bonjour,
  http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Docs/Trois cercles concourants au point de Feuerbach.pdf
  Sincèrement
  Jean-Louis