Aligner deux vecteurs

Hop, un petit code en Sage :

def RY(a) :
    return matrix(3,3,[cos(a),0,sin(a),\
                       0,1,0,\
                       -sin(a),0,cos(a)])
def RZ(b) :
    return matrix(3,3,[cos(b),-sin(b),0,\
                      sin(b),cos(b),0,\
                      0,0,1])
def rectif(n,u,a,b) :
    n=1/(n.norm().n())*n
    u=1/(u.norm().n())*u
    nn=(RY(a*pi.n()/180).transpose())*(RZ(b*pi.n()/180).transpose())*n
    r=sqrt(nn[0]^2+nn[2]^2).n()
    t=arctan2(nn[2],nn[0]).n()
    if u[2].abs()>r : return "error"
    else :
        aa=(t-arcsin(u[2]/r)).n()
        v=RY(aa)*nn
        bb=arctan2(v[0]*u[1]-v[1]*u[0], u[0]*v[0]+u[1]*v[1]).n()
        return aa*180/pi.n(), bb*180/pi.n()
    

La procédure "rectif" prend en entrée : le vecteur $\vec n$, le vecteur $\vec u$ (pas nécessairement normalisés), $\alpha$ et $\beta$ (en degrés) avec mes notations ci-dessus et donne en sortie la correction $\alpha'$ et $\beta'$ (également en degrés). Exemple :
in :

rectif(vector([1,0.11,0.08]),vector([1,0.1,0.1]),37.1,12.3)

out :

(35.9578595264813, 11.7440302503542)

L'angle $\alpha$ n'est pas nécessaire, on peut calculer directement la différence $\alpha'-\alpha$. Par contre, le $\beta$ me semble indispensable ! D'ailleurs, pour "ramener $\beta$ à $0$" comme tu le fais, il faut bien connaître $\beta$.

J'ai quelques petits soucis avec tes données. Pour moi, le passage du schéma du bas au schéma du haut correspond à une rotation de -95° (rotation de 95° dans le sens horaire) et pas à une rotation de 95°. Ça me semble confirmé par la partie droite des schémas qui indique que l'axe Y est bien orienté vers le haut.

J'ai repris ma procédure pour que les axes de rotation correspondent bien à ton modèle, et aussi pour avoir en sortie les accroissements angulaires. Aussi, je fais maintenant des tests pour que l'accroissement angulaire retourné soit bien le plus petit possible.

def RY(b) :
    return matrix(3,3,[cos(b),0,sin(b),\
                       0,1,0,\
                       -sin(b),0,cos(b)])
def RZ(a) :
    return matrix(3,3,[cos(a),-sin(a),0,\
                      sin(a),cos(a),0,\
                      0,0,1])
def rectif2(n,u,b) :
    p=pi.n()
    n=1/(n.norm())*n
    u=1/(u.norm())*u
    nn=RY(-b*p/180)*n
    r=sqrt(nn[0]^2+nn[1]^2)
    t=arctan2(nn[0],nn[1])
    if u[1].abs()>r : return "error"
    else :
        delta=arccos(u[1]/r)+t
        if delta>p : delta=delta-2*p
        deltabis=-arccos(u[1]/r)+t
        if deltabis<-p : deltabis=deltabis+2*p
        if deltabis.abs()<delta.abs() : delta=deltabis
        v=RZ(delta)*nn
        bb=arctan2(v[2]*u[0]-v[0]*u[2], u[0]*v[0]+u[2]*v[2]).n()
        return delta*180/p, bb*180/p - b

Quand j'essaie avec tes données, j'obtiens un résultat différent du tien.
in:

n=vector([0.286286055836 , -0.912610314905, -0.291860767084])
u=vector([0.285149640,  -0.912802536,  -0.292371705])
a=21.6365
b=95
rectif2(n,u,b)

out :

(-0.0414868311193395, 0.234458380037836)

Mais quand je change b=95 en b=-95 dans les données, ça colle, à un signe près.
out :

(0.0349163440358128, 0.213591100739237)

Tu mesures les angles dans le sens horaire ? On dirait que c'est le cas quand on compare le 21.6365° à la partie droite des schémas. C'est un peu troublant, et contraire à la pratique mathématique.

Tu confirmes bien que les angles sont mesurés dans le sens horaire ? C'est assez déroutant quand on écrit des matrices de rotation !

Effectivement, ton schéma montre que la façon de mesurer les angles de rotation est exactement contraire aux conventions habituelles en mathématiques et en physique (règle du tire-bouchon).