Géométrie classe cinquième
Réponses
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Je vais être coquin : d'après les codages (les deux petits traits sur la marque de l'angle), la mesure cherchée vaut 50°.
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Non là c'est une maladresse de ma part.
En appelant x la mesure cherchée j'arrive au fait que x est quelconque entre 70° et 110°.
Ça me semble louche....et ne répond pas à la question.
Merci pour un coup de pouce.
Bonne après midi -
Bonjour Dom
En es-tu sûr ? Parce que, si l'on suit ton argument, on voit sur la figure que 30° = 60° ...
Cordialement
JLB -
Bonjour Gauss.
Effectivement, l'angle cherché est bien de mesure fixe (*). Mais avec ce que je connais du programme de cinquième, je ne vois pas comment le prouver.
Est-ce à dessein que la figure semble suggérer que ED est parallèle à BC ?
Cordialement.
(*) à une similitude près, il n'y a qu'une seule figure possible, par exemple fixer le segment [AB] donne une figure unique. Or les similitudes conservent les angles. -
Avec la loi des sinus et un calcul un peu lourd, en posant BC=1 on arrive à trouver la mesure manquante, qui de surcroît, si mes calculs sont justes, n'est pas entière
De là à trouver une solution niveau classe de 5° ????? C'est une amie professeure en collège qui m' a donné vet enonce , et aucun colleague n' a trouvè de solution
Buen à Vous -
"Colleague" ?? Tu es anglais ;-)
Effectivement, avec les outils d'une première S, on peut trouver les dimensions, connaissant un des côtés, donc les angles. Pour un niveau cinquième, ça me semble relever le l'exercice volontairement infaisable, voire de l'erreur d'énoncé (BDC à la place de BDA par exemple).
Cordialement. -
Et oui, jelobreuil, un codage est étonnant sauf s'il s'agit de coder (très mal) les deux "grands angles" de 80°.
J'avais bien vu cette incohérence, ces codages mal faits ou alors un "décor" absurde posé là, sans raison.
On peut ajouter que l'indication AB=AC est superflue, justement en voyant que les deux angles de ABC, adjacents à [BC], mesurent 80° chacun.
On a envie de lire un énoncé précis. Là, on a l'impression d'un énoncé donné par bouche-à-oreille comme le jeu du téléphone arabe (pardon pour l'expression bientôt bannie, de nos jours). -
L'enoncè de la figure contient tout, ABC est isoscele en A et les mesures indiquees sont exactes, il me faut pas tenir compte du codage des angles c'est tout.
J'ecris depuis iPad Donc il ecrit des corrections automatiques Gerard.
Avec geogebra la mesure de l'angle cherchee est pile 30°.
Mystere....
A plus -
Bonjour,
On peut considérer une rotation, qui transforme un triangle en un autre. On peut ensuite voir que le plus petit côté du triangle transformé est une portion d'une des médiatrices d'un triangle équilatéral, donc une portion d'une de ses bissectrices. -
Ci-joint une figure correcte.
J'avoue mon incapacité à résoudre ce problème par une simple chasse aux angles ...
Il semble bien, en effet, que l'angle cherché vaille 30° ...
Cordialement -
Ok, jelobreuil en n'oubliant pas que ABC est isocèle en A.
Ok, gauss, on oublie les codages.
Comme vous, en 5e, je n'obtiens que des conditions sur "les quatre angles posés sur [ED]".
C'est un système de quatre équations à quatre inconnues, mais il est dégénéré (infinité de solution).
Un exercice difficile à tordre...
La question est : peut-on démontrer qu'on ne peut pas y arriver en 5e (à définir...disons...sans parler des longueurs...?). -
Bonjour
On a déjà parlé de cet exercice ici même!
On insère le côté $BC$ dans le polygone régulier de centre $A$ à 18 côtés et la droite $DE$ apparaît alors comme une diagonale de ce polygone régulier.
L'évaluation des angles se fait via le théorème de l'angle inscrit mais je doute que ce théorème soit enseigné en 5ème et même qu'il soit enseigné du tout.
Aujourd'hui la théorie des angles dans l'enseignement secondaire doit sans doute se limiter à l'usage du rapporteur!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Voici une figure qui devrait éclairer sans calcul. Je me souviens de l'avoir vue et apprise sur ce même site.
PS : Grillé par Pappus. -
Belle idée !
Bon...en 5e on doit pouvoir démontrer "l'angle inscrit" : C'est fait ici, et je n'aurais pas fait mieux, ni plus simple.
Certes, c'est un "gros" résultat finalement. Je me demandais où allaient se cacher ces histoires de longueur.
Dans cette démonstration de "l'angle inscrit", la seule chose utilisée sur les longueurs est le fait que dans un triangle isocèle, on a deux angles de même mesure (ceci doit pouvoir se "démontrer" en 6e avec la symétrie axiale et la puissante caractérisation de la médiatrice par l'équidistance).
Bon, cet exercice est trop dur pour des 5e.
Remarque : anciennement, l'angle inscrit était à enseigner en 3e, avec tout de même en 4e le cas particulier du triangle (rectangle donc !) inscrit dans un demi-cercle. Là encore, la classe de 5e suffisait pour démontrer tout ça : la symétrie centrale possède ce quelque chose de très "puissant", selon moi. -
Bonjour Dom.
J'ai vérifié sur mon vieux bouquin de quatrième (en 1962-63), les angles inscrits étaient vus en cinquième, ils font partie des rappels. Mais la géométrie avec démonstration seulement en quatrième (avec la notion d'axiome, qui m'a passionnée). En cinquième, on faisait du calcul, du calcul d'angles inscrits, sans doute. Je n'ai pas de souvenir, d'ailleurs je n'ai peut-être même pas fait les programmes de collège/lycée de l'époque, en cinquième j'étais dans un "cours complémentaire", où le but final était le brevet (BEPC) pour aller travailler ensuite dans des bureaux.
Cordialement. -
Merci Gérard pour ces précisions.
En effet, je m'aperçois un peu bêtement que je dis "anciennement" pour signifier "les derniers anciens programmes"...bref mon adverbe "anciennement" ne se rapporte qu'au ... 21e siècle (avant 2016). C'est ridicule de ma part (:P).
C'est lié à l'habitude de dire "les anciens programmes" au lieu de dire "les précédents".
Je ne soupçonnais même pas qu'on enseigna cela en 5e...
On reconnaît là une certaine cohérence (sûrement pas partout ?) dans les programmes des années 60 (sans vouloir rentrer dans la rhétorique "c'était mieux avant", c'est juste une remarque).
Très cordialement
Dom -
Ce que dit gerard0 des années 62-63 était vrai 10 ans avant(:P)
On parle ici de géométrie en cinquième ; ce programme récent peut intéresser ?
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Effectivement, ces programmes de cinquième sont plus anciens que l'époque où je les ai subis. mais il faut remarquer que, à cette époque, la majorité des enfants n'allaient pas en lycée/collège, dirigés sur le certificat d'études primaire. Et que l'échec en maths concernait une partie non négligeable des élèves de quatrième. Ils se rattrapaient en latin (bien plus prestigieux !).
En fait, les comparaisons ne sont pas possibles. Par exemple, on ne voyait ni algèbre, ni raisonnement géométrique en classe ce certificat d'études. Ce n'est qu'entre 1950 et 1960 qu'on a ouvert plus largement l'enseignement secondaire et multiplié les "cours complémentaires".
Cordialement. -
@gerard0
Ta réponse précédente m'a rappelé l'intérêt que j'ai trouvé aussi à la démonstration introduite en quatrième et en particulier à sa rédaction.
Souvenir aussi de la géométrie dans l'espace en première où j'ai pu apprendre à dessiner au tableau noir grâce au prof qui m'avait choisi comme correcteur officiel(:P)
En 1950, un concours d'entrée en sixième.
Ceux qui n'étaient pas reçus restaient au primaire pour passer le certificat d'étude puis allaient travailler (encore souvent à la mine).
Les reçus entraient au collège-lycée du bourg (deux profs de maths), passaient le brevet puis beaucoup allaient travailler.
A mon époque, comme disent les vieux, je crois que moins de 10% d'une classe d'âge arrivaient au bac.
Les trente glorieuses, qu'ils disent... -
Dasson,
vers 1965, environ 8% d'une classe d'âge avaient le bac.
Cordialement. -
Bonjour,
il ne faut pas oublier ici la solution "niveau 5ème" (quoique)
Ici, les valeurs particulières des angles donnés permettent une méthode bien plus "naturelle" que le 18-gone (de toute façon il faudrait encore prouver que les diagonales indiquées sont effectivement concourantes !)
une fois qu'on a l'indice :
Tracer E sur BC avec l'angle BAE = 20°.
On "voit" immédiatement que le triangle ABD est isocèle (car les angles B = D), donc AB = AD.
Et aussi, l'angle CAE = 60° - 20° = 40°, donc le triangle ACE est isocèle et AE = EC.
L'angle AEB = 180° - 20° - 50° - 30° = 80° montre que le triangle AEB est isocèle, donc AB = AE.
Comme l'angle DAE = 20° + 60° - 20° = 60° et AE = AD, le triangle AED est équilatéral, et donc l'angle DEA = 60° et DE = AE.
Ceci permet de calculer l'angle DEC = 180° - 80° - 60° = 40°.
Comme DE = EC, le triangle CDE est isocèle, donc les angles en C et D sont égaux à (180° - 40°)/2 = 70°
On obtient alors x = 70° - 40° = 30°
Le dernier angle inconnu en D est obtenu dans le triangle BCD : 180° - 30° - 70° = 80°
Je doute qu'une telle démarche soit imaginable par un élève de 5ème, voire par bon nombre qui ne l'ait pas déja vue, sans un téléguidage précis.
cordialement. -
Ça fait longtemps que le programme de 5e ne parle plus de l'angle inscrit. Jusqu'à la dernière réforme, c'était au programme de troisième. Depuis deux ans, ce résultat n'est plus au programme du collège.
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Bonjour
Je ne connaissais pas la jolie preuve de Chephip qui n'utilise principalement que le théorème sur la somme des angles d'un triangle!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Merci chephip de nous faire profiter de cette jolie et simple démonstration .
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Bonsoir à tous,
J'ai l'impression que Chephip s'est trompé de figure, la sienne ne correspond pas à celle du début de ce fil, voir celle que j'ai donnée dans mon précédent message. Notamment ABC n'a pas l'air isocèle alors qu'il devrait l'être (d'après les valeurs des angles), et le point D n'est plus sur AC ... Bizarre !
J'ai tenté de voir ce qu'il en est, en traçant les parallèles à BC qui passent par E et D ... sans succès !
Bien cordialement
JLB -
Ha, ne sont-ce pas seulement les points qui ont été rebaptisés ?
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Non seulement les points ont été rebaptisés (drôle d'idée !) mais le point A a disparu.
Cordialement. -
Le point A n'est pas utile pour la remarquable démonstration de chephip .
Les points ont été rebaptisés mais y a pas de quoi être perdu . -
C'est sûr, pourquoi faire simple quand on peut compliquer ?
La combinaison suppression de A/redénomination est un très bon moyen de rebuter le lecteur !! -
Mais il y avait un schéma joint à la démonstration donc aucune ambiguïté possible .
Quant à faire compliqué je pense qu'on ne peut pas faire de démonstration plus simple que celle proposée par chephip -
Bonsoir à tous,
fm_31, je persiste à penser que la figure présentée par chephip n'est pas celle du début du fil : pourquoi le point D n'est-il plus sur le côté du triangle ?
Cordialement -
(A,E,B,C,D) dans la figure originale est devenu, selon moi, (X,D,A,B,C) où X n'a pas été représenté, dans la figure de chephip, non ?
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A part la dénomination des points , je ne vois aucune différence
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Je suis d'accord !
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Effectivement, après avoir cherché ce qui était sur la figure, pas trouvé de triangle ABC isocèle, on cherche les angles à 80° et on voit qu'ils ont changé de nom.
Effectivement, c'est évident pour celui qui fait la figure que c'est la même. Et au bout de quelques minutes, aussi pour celui qui le regarde.
Mais c'est pas sympa pour les lecteurs !!
C'est bizarre de ne pas simplement le reconnaître.
Fin du débat pour moi -
Je suis d'accord avec Gérard.
J'ai "compris" tout de suite (heureusement que l'orientation est restée la même dans le nouvelle version rebaptisée (:D).
Bon, cela dit ça reste un sacré bon exercice pour des 5e avec cette indication ("placer le point tel que").
Je réfléchis (enfin, pas ce soir) si l'on peut généraliser en mettant d'autres mesures, puis "des lettres" pour les angles donnés au départ... -
Bonjour,
En parcourant (à retardement...) ce fil, il semble vraiment dommage que personne ne semble avoir noté que la solution donnée dans le message de THULE est particulièrement élégante, élémentaire et, en définitive, plus simple que celle développée par chephip...
Cordialement
C.N. -
Bonjour,
Cette solution est elle vraiment du niveau 5ième ?
Cordialement,
Rescassol -
En effet,
d'une part, la solution si élégante soit-elle n'est pas du niveau 5e (et en fait, même plus du niveau du collège car même si les rotations sont revenues depuis 2016 dans les programmes de collège, on n'attend même plus de démonstration mais juste du "on voit que" sur des frises)
et d'autre part ce que propose chephip n'est-ce pas la même idée, en fin de compte (en regardant le tracé de l'angle à 20°...qui est exactement un côté du "nouveau" triangle de thule) ?
Cordialement -
Bonjour Rescassol et Dom
La solution de thule est résumée en termes de rotation mais n'utilise absolument pas de propriétés de celle-ci : elle ne fait que faire intervenir le même point E que chephip.
On notera simplement que l'une a été postée avant l'autre et qu'elle est plus simple que l'autre une fois introduit le "point E"...
Cordialement
C.N. -
Assez d'accord, ce n'est qu'une histoire de sémantique.
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C'est l'exercice 4 p. 29 du paragraphe 1.9. "Triangles podaires" de Coxeter et Greitzer, Redécouvrons la géométrie dans l'édition Gabay de 1997.
La solution donnée :Coxeter & Greitzer (p. 185) a écrit:
soient $F$ le point où la parallèle à $BC$, menée par $D$, coupe $AB$, et $G$ le point où $CF$ coupe $BD$. Le triangle $BCG$ est équilatéral et $BG=BC$. De plus, $CBE$ est isocèle et $BE=BC$. Donc $BGE$ est isocèle et
$$\widehat{BGE}= 80^\circ,\ \ \ \widehat{FGE} = 40^\circ.$$
Comme $\widehat{EFG} = 40^\circ$, le triangle $FEG$ est isocèle et $FE=EG$. De même $DF=DG$. Les deux triangles $GDE$ et $FDE$ sont donc égaux, $DE$ est la bissectrice de l'angle $\widehat{FDG}$, et $\widehat{EDB}=30^\circ$. -
J'oubliais : merci uvdose pour cette généralisation !
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Cet exercice a-t-il vraiment été donné en cinquième ?
On pourrait le nommer "Pi/18" tellement on fait apparaître d'angles multiples, j'en suis à mon cinquième cercle remarquable sur la figure... -
Bonsoir, je suis bien d'accord que BCG est équilatéral, mais il faut le prouver...
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Tu trouveras dans le fichier Geogebra joint une démonstration n'utilisant que la symétrie et le théorème des angles du triangle: pas d'angles inscrits, polaires, tc..
Il est impossible à un élève de trouver seul; je l'ai mis sous forme de découverte progressive de la figure. Je pense ne m'être pas trompé. Ceci dit la figure est extraordinaire, quasi "fractale" car plus on crée de points plus on fait apparaitre d'angles multiples de 10,20,30,40,50,60,70,80et 90 degrés, une tonne de triangles isocèles et de cercles intéressants.C'est à se demander si tout angle de la figure n'est pas un multiple de 10 degrés !!!!
Amateur. -
Bonsoir Pappus,
Je me suis tenu tranquille un certain temps...
J'ai posté une solution basique sans angle inscrit, polaire, etc...
Mais la configuration est extraordinaire, on dirait qu'elle est "fractale" et que tout angle que l'on crée en tirant des lignes à partir des points successivement crées est multiple de 10 degrés...
Bien cordialement.
Amateur -
Une démonstration de la généralisation proposée par uvdose
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Bonjour!
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