Ellipses et limaçon

jelobreuil
jelobreuil
dans Géométrie
Bonjour à tous

Soit une ellipse (Ef) de foyers A et B, et un point mobile M de cette ellipse.
Soit la famille d'ellipses (Em) de foyers A et M et passant par B.
Il semble que, quand le point M se déplace sur son ellipse, le lieu des milieux des cordes communes à Ef et aux Em soit un limaçon de Pascal ayant pour point double le centre de Ef. Voir les quatre premières figures jointes.
On observe la même chose avec une famille de cercles centrés en M et passant par B, voir les trois figures supplémentaires.
Comment le démontrer ?
Sur le site Mathcurve, j'ai vu plusieurs définitions d'un limaçon, mais je ne vois pas comment rattacher à l'une d'elles ce phénomène ...
Merci de vos éclaircissements !
Bien cordialement
JLB81456
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Réponses

  • pappus
    pappus
    Mon cher Jelobreuil
    Tu nous as fait des tas de figures sans le moindre limaçon à l'horizon.
    Est-ce vraiment si dur de tracer cela!
    Amicalement
    [small]p[/small]appus81472
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour,

    Je n'ai pas pu résister.

    Cordialement,

    Rescassol81476
  • jelobreuil
    jelobreuil
    Bonsoir Pappus, Rescassol,
    Pappus, j'avoue : je ne sais pas vraiment si je puis demander à Geogebra de tracer un lieu (je ne m'étais jamais posé cette question, mais je pense que oui ...), et de toute façon, je ne sais pas comment le lui demander ! et je n'ai pas eu, sur le moment, l'idée d'aller voir si par hasard il n'y aurait pas un tutoriel qui explique cette manip. Mais je vais voir ça dès que j'aurai terminé d'écrire ce message !
    Rescassol, merci infiniment de n'avoir pas résisté à produire cette figure éminemment instructive dont je n'avais absolument aucune esquisse de début d'idée ! C'est tout simplement bouleversant ! et terriblement excitant pour ma curiosité !
    Comme tu l'as sans doute deviné, c'est le récent fil de Bouzar sur le point de Longchamp qui m'a inspiré cette question. Je ne m'étonne donc pas de le voir représenté.
    Comment prouver que si partant d'un triangle, on construit deux ellipses dans cette configuration, la droite portant leur corde commune passe par le point de Longchamp du triangle et le centre de l'un des cercles exinscrits ?
    Bien cordialement
    JLB
    PS J'ai effectivement trouvé comment tracer un lieu avec Geogebra ... Merci, Pappus, de m'avoir tarabusté !81482
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonsoir,

    Géogébra sait tracer les lieux.
    Ça se trouve dans le sous-menu commençant par "perpendiculaire", tout en bas.
    Tu donnes le point dont tu veux le lieu, puis le point variable dont le lieu dépend.

    Quant au fait que la droite portant la corde commune passe par le point de De Longchamps du triangle et le centre de l'un des cercles exinscrits, je l'ai démontré comme dit dans le fil voisin de Bouzar à l'aide de Morley inscrit.
    Poulbot en a donné une preuve sans calcul dans le même fil.

    Cordialement,

    Rescassol

    Edit: Je n'avais pas vu que tu avais trouvé les lieux avant d'envoyer mon message.
  • jelobreuil
    jelobreuil
    Merci Rescassol de la confirmation, en fait j'étais jusqu'alors demeuré avec la barre d'outils de base de Geogebra où l'outil lieu ne figure pas. Mais maintenant, j'ai fait le nécessaire pour en disposer.
    Voici une autre configuration où l'on obtient , avec des ellipses d'excentricité plus petite, un autre type de limaçon, qui ne passe plus par le centre de l'ellipse fixe.
    Ma question reste en suspens : comment relier cette construction à une définition des limaçons de Pascal ? Comment y voir, par exemple, une conchoïde de cercle ?
    Bien cordialement
    JLB81486
  • poulbot
    poulbot
    Bonjour
    Cette courbe n'est pas un limaçon de Pascal.
    Sur la figure, j'ai tracé en bleu son inverse par rapport au cercle de diamètre $\left[ AB\right] $ qui ne ressemble pas vraiment à une conique.
    J'ai tout de même vérifié par le calcul que le lieu de Jelobreuil est une quartique rationnelle ayant pour points doubles à l'infini ceux de l'ellipse de départ. Du coup, cette quartique n'est pas circulaire (et encore moins bicirculaire). Ce n'est pas non plus l'image d'un limaçon de Pascal par une affinité orthogonale d'axe $AB$.
    Amicalement. Poulbot81492
  • jelobreuil
    jelobreuil
    Merci Poulbot de ces précisions !
    C'est donc une courbe sans nom particulier ...
    Intéressante à étudier ?
    Bien cordialement
    JLB
  • poulbot
    poulbot
    Bonjour jelobreuil
    "Intéressante à étudier ?" Bof!!
    Une question indiscrète : qu'arrive-t-il à ta courbe si l'ellipse de départ a pour excentricité $\dfrac{1}{\sqrt{5}}$?
    et une figure à méditer.
    Amicalement. Poulbot81534
  • jelobreuil
    jelobreuil
    Merci Poulbot, pour cette réponse franche et cette figure que je découvre ce soir !
    Quant à ta question indiscrète, je t'avoue que je ne sais pas comment faire pour pour pouvoir y répondre ...
    Bien cordialement
    JLB
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