Points étonnants de la sphère
Bonjour,
Soit une sphère dans R3 :
Un point intérieur à la sphère est dit étonnant si, quelles que soient les trois cordes perpendiculaires deux à deux passant par le point, la somme des carrés de leurs longueurs est constante. (Par exemple le centre de la sphère).
Quels sont tous les points étonnants de la sphère ?
J'ai essayé en partant d'un cercle 2D sans obtenir de résultats quelqu'un aurait une idée de comment commencer la résolution ?
Soit une sphère dans R3 :
Un point intérieur à la sphère est dit étonnant si, quelles que soient les trois cordes perpendiculaires deux à deux passant par le point, la somme des carrés de leurs longueurs est constante. (Par exemple le centre de la sphère).
Quels sont tous les points étonnants de la sphère ?
J'ai essayé en partant d'un cercle 2D sans obtenir de résultats quelqu'un aurait une idée de comment commencer la résolution ?
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Réponses
Tous les points intérieurs à la sphère sont étonnants.
Si $O$ est son centre et $R$ son rayon, la somme des carrés des longueurs de $3$ cordes $2$ à $2$ perpendiculaires en un point $P$ est $12R^{2}-8OP^{2}$.
Un exercice sympathique que je laisse chercher à nos amis.
Amicalement. Poulbot
A l'intention de Crowsen, j'ai fait la figure pour $n=2$ (dans le cas du plan).
Non seulement il a tout ce qu'il faut sous les yeux pour montrer que:
$$MM'^2+NN'^2=Cte$$
mais encore il peut utiliser cette démonstration pour la généraliser au cas de l'espace ($n=3$) ou à celui de l'hyperespace ($n$ quelconque)!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Je vois bien qu'on va utiliser Pythagore, la constante que je cherche est le segment MN au carré et que le segment mm' peut m'aider à le trouver.
Quelqu'un peut me donner la clé du problème ?
Merci déjà pour votre aide.
Bien sûr, il s'agit d'un exercice sur l'axiome de Pythagore, la seule chose qui nous reste encore en géométrie avec l'axiome de Thalès.
$Mm^2=OM^2-Om^2=R^2-Om^2$
$Nn^2=ON^2-On^2=R^2-On^2$
$Mm^2+Nn^2=2R^2-(Om^2+On^2)=2R^2-mn^2=2R^2-OP^2$
Donc $$MM'^2+NN'^2=4(Mm^2+Nn^2)=8R^2-2OP^2$$
C'est cette démonstration qui se généralise au cas $n=3$ ou au cas $n$ quelconque.
Amicalement
[small]p[/small]appus
Voici comment généraliser cela dans la glorieuse dimension $n$ avec des notations évidentes.
$M_km_k^2=OM_k^2-Om_k^2=R^2-Om_k^2$
Donc $$\sum_{k=1}^n M_km_k^2=nR^2-\sum_{k=1}^n Om_k^2$$
Tout revient à montrer que $\sum_{k=1}^n Om_k^2$ est constant!
Ce n'est pas bien terrible avec l'axiome de Pythagore en dimension $n$!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Il me reste juste une question, comment à partir de la démonstration plane passé à n'importe quelle dimension ? je ne comprends pas ta sommation.
Si tu comprends le passage de $n=2$ à $n=3$, tu sauras traiter le cas général $n$ quelconque.
Amicalement
[small]p[/small]appus
Dans l'espace euclidien $E$ de dimension $n$ on consid\`ere la sph\`ere $$S_{c,r}
=\{x\in E; \|x-c\|^2=r^2\}$$ telle que $\|c\|^2<r^2$ ainsi qu'une bon $e=(e_1,\ldots,e_n)$ de $E$ quelconque. Soit $A_k$ et $B_k$ les points de $S_{c,r}$ sur la droite de direction $ e_k.$ Montrer que $\sum_{k=1}^n\|A_k-B_k\|^2$ ne d\'epend pas de $e$. M\'ethode: \'ecrire $A_k=\lambda_k^+e_k$ et $B_k=\lambda_k^-e_k$ et calculer $(\lambda_k^+-\lambda_k^-)^2$ en utilisant les coordonn\'ees de $c$ dans la base $e.$
Si on considère que la théorie des espaces euclidiens n'est qu'une branche de l'algèbre linéaire, on comprend pourquoi l'enseignement de la géométrie est devenu obsolète.
C'est amusant de voir ce banal exercice sur l'axiome de Pythagore se généraliser en une question d'oral de concours!
Encore faut-il écrire sa rédaction!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Voici ma preuve avec mes notations en dimension quelconque $n$.
Les milieux $m_k$ des cordes $M_kM'_k$ sont les projections orthogonales du point $O$ sur les axes du repère orthonormé de $JLT$.
On a donc: $$\overrightarrow{PO}=\sum_{k=1}^n\overrightarrow{Pm_k}$$
dans la décomposition en somme directe orthogonale engendrée par ce repère et par suite:
$$OP^2=\sum_{k=1}^nPm_k^2$$
(axiome de Pythagore généralisé).
En sommant les relations:
$$OP^2=Om_k^2+Pm_k^2$$
dues à l'axiome de Pythagore, on obtient:
$$\sum_{k=1}^nOm_k^2+\sum_{k=1}^nPm_k^2=\sum_{k=1}^nOm_k^2+OP^2=nOP^2$$
Donc $$\sum_{k=1}^nOm_k^2=(n-1)OP^2$$
Et finalement:
$$\sum_{k=1}^n M_kM'_k²=4(nR^2-(n-1)OP^2)$$
Amicalement
[small]p[/small]appus
Des points extérieurs à la sphère peuvent-ils être aussi étonnants?
Amicalement
[small]p[/small]appus
"Des points extérieurs à la sphère peuvent-ils être aussi étonnants?"
Ben oui! S'il existe $3$ droites $2$ à $2$ orthogonales en $P$ rencontrant la sphère, elles interceptent sur la sphère $3$ cordes dont la somme des carrés des longueurs est $12OP^{2}-8R^{2}$.
Je me dépêche d'anticiper la question suivante de Pappus : Quel est l'ensemble des points $P$ pour lesquels il existe $3$ droites $2$ à $2$ orthogonales en $P$ rencontrant la sphère?
Amicalement. Poulbot
Une brillantissime remarque finale : puisque $R\sqrt{\dfrac{3}{2}}>R$, nous avons la réponse à la question de Pappus "Des points extérieurs à la sphère peuvent-ils être aussi étonnants?".
Amicalement. Poulbot
Un petit supplément.
- $P$ étant un point de la sphère, trois droites variables $2$ à $2$ perpendiculaires en $P$ recoupent la sphère en $U,V,W$. Montrer que le plan $UVW$ passe par un point fixe.
- $U,V,W$ sont $3$ points variables de la sphère pour lesquels les droites $OU,OV,OW$ sont $2$ à $2$ perpendiculaires. Montrer que le plan $UVW$ est tangent à une sphère fixe. (Cela devrait rester vrai si on remplace la sphère par une quadrique de centre $O$ qui n'est pas un cône).
Amicalement. Poulbot
La deuxième assertion est claire car tout est invariant par rotation autour de $O$.
Effectivement, comme tu l'as dit, pour la première assertion, le centre de gravité $G$ de $UVW$ est fixe (il vérifie $\overrightarrow{OG}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{OP}$).
Pour la deuxième, dans le cas d'une sphère, dans un repère orthonormé d'axes portés par $OU,OV,OW$, l'équation du plan $UVW$ est $\pm x\pm y\pm z=R$ et il est tangent à la sphère $\left( O,\dfrac{R}{\sqrt{3}}\right) $.
Pour nos amis : dans le cas de la quadrique de centre $O$ d'équation (en orthonormé) $\alpha x^{2}+\beta y^{2}+\gamma z^{2}=1$, quel est la distance de $O$ au plan $UVW$?
Amicalement. Poulbot
Dans le repère orthonormé $\Big( O,\dfrac{\overrightarrow{OU}}{OU},\dfrac{\overrightarrow{OV}}{OV},\dfrac{\overrightarrow{OW}}{OW}\Big) $, la quadrique et le plan $UVW$ ont respectivement pour équation $\dfrac{x^{2}}{OU^{2}}+\dfrac{y^{2}}{OV^{2}}+\dfrac{z^{2}}{OW^{2}}+pyz+qzx+rxy=1$ et $\dfrac{x}{OU}+\dfrac{y}{OV}+\dfrac{z}{OW}=1$.
Puisque $\dfrac{1}{OU^{2}}+\dfrac{1}{OV^{2}}+\dfrac{1}{OW^{2}}=\alpha +\beta +\gamma $ (pourquoi?), la distance de $O$ au plan $UVW$ est $\dfrac{1}{\sqrt{\alpha +\beta +\gamma }}$.
Amicalement. Poulbot