Produit vectoriel...
Bonjour à tous ,
voici l'énoncé : Soient A,B,C trois points distincts de l'espace
Il est implicitement dit d'utiliser la formule du double produit vectoriel. L'idée est donc de l'appliquer. De plus pour alléger les calculs il me semble évident d'introduire un repère j'ai effectué cela avec (A,AB,AC,AD) (D étant un point tel que AD n'est pas colinéaire à (AB,AC) ). Après calculs et études de cas je trouve comme solution : (1,0,0) ,(0,1,0),(0,0,0) c'est-à-dire A,B,C et je trouves aussi (1/2,1/2,+-1/2) et c'est la que ça me gêne. Dois-je prendre un autre repère ou autre ?
Merci d'avance .
voici l'énoncé : Soient A,B,C trois points distincts de l'espace
Il est implicitement dit d'utiliser la formule du double produit vectoriel. L'idée est donc de l'appliquer. De plus pour alléger les calculs il me semble évident d'introduire un repère j'ai effectué cela avec (A,AB,AC,AD) (D étant un point tel que AD n'est pas colinéaire à (AB,AC) ). Après calculs et études de cas je trouve comme solution : (1,0,0) ,(0,1,0),(0,0,0) c'est-à-dire A,B,C et je trouves aussi (1/2,1/2,+-1/2) et c'est la que ça me gêne. Dois-je prendre un autre repère ou autre ?
Merci d'avance .
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Réponses
Si $M$ est n'importe quel point de la droite $(BC)$, que penses-tu de $\vec{MB}\wedge \vec{MC}$ ?
Écris la formule du double produit vectoriel et exploite-la géométriquement.
Mais tu n'as vraiment aucune idée de ce que peut être l'intersection de deux sphères ???
Pour la déterminer, tu peux regarder la trace de cette intersection dans le plan $(ABC)$ qui contient les centres des sphères.
Si on note O le centre de la sphère de diamètre AB et O' le centre de la sphère AC.
Pour que l’intersection soit un cercle il faut que la distance OO' soit plus petite que la distance (AB+AC)/2 .Ensuite si on a OO'=(AB+AC)/2 on a les deux sphères tangentes en un point.
puis si OO' > (AB+AC)/2 l'intersection est vide mais ce cas n'est pas possible car les sphères ont toujours A en commun
Enfin dans certains cas on peut avoir que une sphère est dans l'intérieur de l'autre par rapport à la valeur absolue de
(AB-AC)/2 si elle est supérieure à OO' la on a pas d'intersection . On a intersection si la valeur absolue de (AB-AC)/2 = OO' . Ce qui revient ici à avoir ABC alignés , si AB > AC on a que la sphère de diamètre AC est incluse dans la sphère de diamètre AB( l'inverse pour AC>AB ), le seul point d'intersection dans ce cas est donc A vu que B est différent de C.
( pas besoin de parler du cas ou OO' = 0 car la seule intersection possible viendrait du fait que B=C or dans l'énoncé ces points sont distincts )
Finalement , on voit bien que on a deux sphères qui sont fixés à A et les intersections vont dépendre de B et C .
On s'attendrait à ce que tu donnes enfin des résultats clairs et nets, du genre :
- si A, B, C sont alignés, alors l'ensemble des points M tels que ... est ...
- si A, B, C ne sont pas alignés, alors l'ensemble des points M tels que ... est ...
Donc au final je pense que :
si A,B,C sont alignés alors la seule intersection possible est A , donc M=A
si A,B,C sont non alignés alors l'intersection est un cercle de centre I ou I appartient à OO' et tel que (notons M le milieu de OO') 2 MI * OO' = (AB/2)^2-(AC/2)^2 (MI et OO' sont des vecteurs ici bien sur ) , donc M appartient à ce cercle ...
Et ne peux-tu pas donner une description plus claire du cercle intersection des deux sphères ? J'avoue que je n'y comprends rien, surtout si tu notes aussi M à la fois le point courant de l'ensemble cherché et le milieu de O et O'.
Je t'ai donné une piste pour une description géométrique du cercle intersection des deux sphères : repérer son intersection avec le plan $(ABC)$.
le plan ABC et le cercle d'intersection des deux sphères est une droite passant par le point A(et I ) et donc ?
Regarde au moins le dessin que j'ai fait plus haut. L'intersection du plan bleu et du cercle orange est un segment ?
[ Pythagore (-580,-495) prend toujours une majuscule. AD]
Cependant, il n'y a pas deux plans (ortho)normaux dans $\R^3$ – tous les vecteurs de (la direction de) l'un sont orthogonaux à tous les vecteurs de l'autre. En revanche, si un plan est donné (le sol de la pièce où tu te trouves), il existe une infinité de plans perpendiculaires (les plans contenant la porte de ladite pièce dans ses différentes positions). Entre zéro et l'infini, il faut trouver un plan unique...
Puisque tu préfère parler de plan « normal », qu'est-ce qui est normal à un plan ? (Once again: deux sous-espaces affines sont normaux si tout vecteur de la direction de l'un est orthogonal à tout vecteur de la direction de l'autre.) Et donc, à quoi est normal ce fameux plan qui contient le cercle ?
C'est un vecteur qui est normal à un plan . Donc ce fameux plan est normal tout vecteur de la direction du plan ABC
Alors, pour reprendre, quel est ce plan qui contient le cercle en lequel se coupent les deux sphères ? Et pourquoi ?