Interpolation du graphe d'une fonction

ekottodipanda
ekottodipanda
dans Géométrie
Bonjour à tous , j'ai un TD qui porte sur les courbes de Béziers rationnelles .

soit f une fonction rationnelle dont le numérateur et le dénominateur sont de degré connu.

Le Td consiste à :
- Représenter l'arc de la courbe de f sur [0,1] par une courbe de Bézier rationnelle de degré approprié.
- Représenter chaque arc connexe de la courbe de f par une courbe de Bézier rationnelle de degré approprié via un changement de paramètre homographique.

Pour la première question du TD Je dois trouver les points de contrôles puis les points M(t) de la courbe de Béziers rationnelle.

Pour la première question Comment faire donc une telle interpolation ?

Je vous remercie très infiniment d'avance.

[Pierre Bézier (1910-1999) ne s'accorde jamais en nombre avec le contexte ! AD]81618

Réponses

  • ev
    ev
    Pierre Bézier (1910 - 1999) à le droit au respect de son patronyme et à ne pas être confondu avec le chef-lieu de l'Hérault.

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • ekottodipanda
    ekottodipanda
    Okaye j'ai corrigé le titre de la discussion .
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonsoir,

    ev, le chef-lieu de l'Hérault est Montpellier et non Béziers.

    Cordialement,

    Rescassol
  • ev
    ev
    @ Rescassol

    Pas pour le rugby !

    e.v.

    [size=x-small][ Schtroumpf de schtroumpf, c'est plus un lapsus à ce stade-là. Il va falloir inventer un nouveau mot... ][/size]
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • ekottodipanda
    ekottodipanda
    Pour que la courbe de Beziers interpole le graphe de la fonction f sur [0,1] on serait tenté à :
    - Paramétrer la fonction f(x) en posant x(t)=t , on supposera que la fonction est définie dans cet ensemble.
    - Prendre comme points de contrôles de la courbe de Bézier un ensemble fini (approprié) de points qui appartiennent à la courbe de f
    - Chercher à jouer sur les poids des points de contrôles pour que la courbe de Béziers rationnelle passe exactement par ses points de contrôles. Alors si on y parvient c'est que c'est fini.
    Mais alors comment jouer sur les poids (des valeurs qu'on ajoute aux coefficients des polynômes de Bernstein) pour avoir une telle interpolation ?

    [Ne pas confondre Pierre Bézier (1910-1999) avec la ville de Béziers ! AD]
  • ekottodipanda
    ekottodipanda
    Bonjour,
    Peut-on avoir une interpolation pour une courbe de Bézier rationnelle par tous ses points de contrôles en dehors des extrémités (1er et dernier points) ?

    En effet pour tout courbe de Béziers Bézier rationnelle on a évidement une interpolation aux extrémités mais peut-on trouver des poids (confère image jointe) appropriés pour avoir une interpolation par tous les points et non seulement aux extrémités ?

    Merci de me faire signe si ma question est incompréhensible, s'il vous plaît.

    [Ne pas confondre Pierre Bézier (1910-1999) avec la ville de Béziers ! AD]81912
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    La courbe ne passera jamais par les points de contrôle autres que les extrémités, quels que soient les poids positifs.
  • ekottodipanda
    ekottodipanda
    Justement @GaBuZoMeu en posant le problème linéaire on voit que cela est impossible.
  • ekottodipanda
    ekottodipanda
    L'autre approche que je suggère est que si on veut interpoler la courbe d'une fonction définir sur [0,1] par une courbe de Bezier , on peut peut plutôt chercher à interpoler un ensemble de points sur [0,1] de la courbe de f ( selon la précision que l'on veut ) par une courbe de Bezier.

    soi i variant de 0 à n . ( la valeur de n déterminent la précision )

    Donc étant donnée Ai ponts du graphe de f on cherche Pi points de contrôles d'une courbe de Bézier interpolant les Ai.

    @GaBuZoMeu je pense que ça résous mon problème d'interpolation du graphe de f seulement sur [0,1]. tu trouves pas ?
    Parce que le paramètre t variant de 0 à 1(pour une courbe de Bezier) et que une paramétrisation naturelle de la courbe de toute fonction f est de poser x(t)=t et y(t)=f(t) t appartenant à R.

    Maintenant si on veut une interpolation du graphe de f autre que sur [0,1] par une courbe de Bezier comment s'y prendre ? ( Question 2 de l'exercice).

    Je reprends les questions :
    - Représenter l'arc de la courbe de f sur [0,1] par une courbe de Bézier rationnelle de degré approprié.
    - Représenter chaque arc connexe de la courbe de f par une courbe de Bézier rationnelle de degré approprié via un changement de paramètre homographique.
    En espérant que ma question soit clair.

    Merci infiniment.
  • lionel21
    lionel21
    Bonjour,
    le travail consiste à transformer l'équation cartésienne $y=f(x)$ en équation paramétrique $x(t)=t$ et $y(t)=f(t)$ puis de mettre $x(t)$ et $y(t)$ sous forme de fractions rationnelles de même dénominateur.
    Ensuite, on détermine les poids et points de contrôle en écrivant les numérateurs et le dénominateur dans la base de Bernstein de degré idoine.

    Je joins une version rédigée avec des exemples.

    Lionel

    PS : page 4, $I$ est l'ensemble qui contient les indices des points massiques de contrôle de poids non nuls (i.e. des points pondérés) tandis que $J$ est l'ensemble qui contient les indices des points massiques de contrôle de poids nuls (i.e. des vecteurs).
  • gerard0
    gerard0
    2 ans après ?
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