Interpolation du graphe d'une fonction
dans Géométrie
Bonjour à tous , j'ai un TD qui porte sur les courbes de Béziers rationnelles .
soit f une fonction rationnelle dont le numérateur et le dénominateur sont de degré connu.
Le Td consiste à :
- Représenter l'arc de la courbe de f sur [0,1] par une courbe de Bézier rationnelle de degré approprié.
- Représenter chaque arc connexe de la courbe de f par une courbe de Bézier rationnelle de degré approprié via un changement de paramètre homographique.
Pour la première question du TD Je dois trouver les points de contrôles puis les points M(t) de la courbe de Béziers rationnelle.
Pour la première question Comment faire donc une telle interpolation ?
Je vous remercie très infiniment d'avance.
[Pierre Bézier (1910-1999) ne s'accorde jamais en nombre avec le contexte ! AD]
soit f une fonction rationnelle dont le numérateur et le dénominateur sont de degré connu.
Le Td consiste à :
- Représenter l'arc de la courbe de f sur [0,1] par une courbe de Bézier rationnelle de degré approprié.
- Représenter chaque arc connexe de la courbe de f par une courbe de Bézier rationnelle de degré approprié via un changement de paramètre homographique.
Pour la première question du TD Je dois trouver les points de contrôles puis les points M(t) de la courbe de Béziers rationnelle.
Pour la première question Comment faire donc une telle interpolation ?
Je vous remercie très infiniment d'avance.
[Pierre Bézier (1910-1999) ne s'accorde jamais en nombre avec le contexte ! AD]
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Réponses
e.v.
ev, le chef-lieu de l'Hérault est Montpellier et non Béziers.
Cordialement,
Rescassol
Pas pour le rugby !
e.v.
[size=x-small][ Schtroumpf de schtroumpf, c'est plus un lapsus à ce stade-là. Il va falloir inventer un nouveau mot... ][/size]
- Paramétrer la fonction f(x) en posant x(t)=t , on supposera que la fonction est définie dans cet ensemble.
- Prendre comme points de contrôles de la courbe de Bézier un ensemble fini (approprié) de points qui appartiennent à la courbe de f
- Chercher à jouer sur les poids des points de contrôles pour que la courbe de Béziers rationnelle passe exactement par ses points de contrôles. Alors si on y parvient c'est que c'est fini.
Mais alors comment jouer sur les poids (des valeurs qu'on ajoute aux coefficients des polynômes de Bernstein) pour avoir une telle interpolation ?
[Ne pas confondre Pierre Bézier (1910-1999) avec la ville de Béziers ! AD]
Peut-on avoir une interpolation pour une courbe de Bézier rationnelle par tous ses points de contrôles en dehors des extrémités (1er et dernier points) ?
En effet pour tout courbe de Béziers Bézier rationnelle on a évidement une interpolation aux extrémités mais peut-on trouver des poids (confère image jointe) appropriés pour avoir une interpolation par tous les points et non seulement aux extrémités ?
Merci de me faire signe si ma question est incompréhensible, s'il vous plaît.
[Ne pas confondre Pierre Bézier (1910-1999) avec la ville de Béziers ! AD]
soi i variant de 0 à n . ( la valeur de n déterminent la précision )
Donc étant donnée Ai ponts du graphe de f on cherche Pi points de contrôles d'une courbe de Bézier interpolant les Ai.
@GaBuZoMeu je pense que ça résous mon problème d'interpolation du graphe de f seulement sur [0,1]. tu trouves pas ?
Parce que le paramètre t variant de 0 à 1(pour une courbe de Bezier) et que une paramétrisation naturelle de la courbe de toute fonction f est de poser x(t)=t et y(t)=f(t) t appartenant à R.
Maintenant si on veut une interpolation du graphe de f autre que sur [0,1] par une courbe de Bezier comment s'y prendre ? ( Question 2 de l'exercice).
Je reprends les questions :
- Représenter l'arc de la courbe de f sur [0,1] par une courbe de Bézier rationnelle de degré approprié.
- Représenter chaque arc connexe de la courbe de f par une courbe de Bézier rationnelle de degré approprié via un changement de paramètre homographique.
En espérant que ma question soit clair.
Merci infiniment.
le travail consiste à transformer l'équation cartésienne $y=f(x)$ en équation paramétrique $x(t)=t$ et $y(t)=f(t)$ puis de mettre $x(t)$ et $y(t)$ sous forme de fractions rationnelles de même dénominateur.
Ensuite, on détermine les poids et points de contrôle en écrivant les numérateurs et le dénominateur dans la base de Bernstein de degré idoine.
Je joins une version rédigée avec des exemples.
Lionel
PS : page 4, $I$ est l'ensemble qui contient les indices des points massiques de contrôle de poids non nuls (i.e. des points pondérés) tandis que $J$ est l'ensemble qui contient les indices des points massiques de contrôle de poids nuls (i.e. des vecteurs).