Équation cartésienne -> Paramétrique/vect

mizarut
mizarut
dans Géométrie
Bonjour
Je bloque sur une question : je possède une équation cartésienne de droite dans un espace de dimension 3 mais j'aimerais la transformer en équation paramétrique ou vectorielle J'ai donc pensé à prendre deux points de celle-ci mais un souci vraiment bête se pose à moi : comment trouver des points d'une droite à partir des équations cartésiennes ?
Y aurait-il d'autres méthodes pour passer de cartésiennes à paramétrique/vectorielle ?
Merci d'avance !

Réponses

  • rémi
    rémi
    Une équation cartésienne de droite donne l'ordonnée connaissant l'abscisse (par exemple). Il suffit de choisir une abscisse et on obtient l'ordonnée correspondante grâce à l'équation.
    Si je prend la droite d'équation $y=x+2$ et que je m'intéresse au point d'abscisse $3$, l'équation donne pour ordonnée $5$.

    Mais est-ce vraiment ta question ?
  • mizarut
    mizarut
    Je m'intérresse plutôt aux espaces à trois dimensions :) Du coup on a deux équations cartésiennes pour définir la droite (définie comme étant l'intersection de deux plans ^^)
  • melpomène
    melpomène
    Hello,
    mizarut a écrit:
    comment trouver des points d'une droite à partir des équations cartésienne ?

    Ben, tu as un système de deux équations à 3 inconnues, ça ne devrait pas être difficile de le résoudre. SI tu le résous complètement, ça te donnera une équation paramétrique de ta droite, d'ailleurs...
    mizarut a écrit:
    Y'aurait-il d'autre méthode pour passer de cartésiennes à paramétrique/vectorielle ?

    Si $v_1$ est un vecteur normal à ton premier plan, et $v_2$ un vecteur normal à ton second plan (que l'on peut lire facilement sur l'équation du plan), alors $v_1\wedge v_2$ est un vecteur directeur de ta droite. Vois-tu pourquoi ?
  • mizarut
    mizarut
    Désolée je ne vois pas pourquoi, pourrais-tu me donner un exemple ? Je visualise mieux ainsi ^^ (Serait-il possible pour le premier aussi ? Je vois la résolution du système mais pas la paramétrique [qui] en découle désolée !! Un exemple simple suffirait ! )

    Rectification: Après avoir effectué la résolution de système, mon paramètre z donnera : x= n + m*Z ; y=p +q*z et z=z n'est-ce pas ? Z sera le vecteur directeur du coup
  • pappus
    pappus
    Bonjour
    A-ton jamais vu un réel $z$ être un vecteur directeur de quoique ce soit dans un espace vectoriel de dimension $3$?
    Je croyais naïvement que dans un tel espace un vecteur se devait d'avoir trois coordonnées mais peut-être n'est-ce plus enseigné?
    Cela ne m'étonnerait guère!
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
    PS
    Est-ce si épouvantable d'écrire:
    $$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}n\\p\\0\end{pmatrix}+z\begin{pmatrix}m\\q\\1\end{pmatrix}$$
    et d'en déduire sans coup férir un vecteur directeur de cette droite?
  • mizarut
    mizarut
    Sans méprise, mais je doute que la condescendance permette l'apprentissage. Les mathématiques forment déjà un domaine dur à appréhender pour beaucoup de monde, je pense que ce comportement n'aide pas vraiment. De plus, diverses raisons peuvent justifier ce genre de question ( Une reprise d'étude peut-être ?)
    Ceci étant dit, merci pour la notation mettant plus en évidence le point fixé et et le vecteur directeur :) Vos réponses m'ont beaucoup aidée ^^

    Ps: je ne le prend absolument pas personnellement et n'essaye encore moins de défendre le système éducatif, c'est juste pour éviter les méprises :)
  • pappus
    pappus
    Ma chère Mizarut
    J'essaye seulement de te rendre service en soulignant tes erreurs pour que tu ne les répètes plus!
    Petite question insidieuse:
    Pourquoi le vecteur $(m,q,1)$ a-t-il droit au beau nom de vecteur directeur?
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • pappus
    pappus
    Bonsoir
    Seuls les vecteurs non nuls sont des vecteurs directeurs et le vecteur $(m,q,1)$ est non nul puisque sa troisième composante vaut $1$.
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • lionel21
    lionel21
    Bonjour,

    sous réserve que le vecteur directeur $\overrightarrow{u}\left(a,b,c\right)$ de la droite a ses trois composantes non nuls, une équation cartésienne de la droite passant par $A\left(x_A;y_A;z_A\right)$ est :
    $$ \frac{x-x_A}{a} = \frac{y-y_A}{b} = \frac{z-z_A}{c}$$ est l'équation paramétrique est :
    $$\left\{ \begin{array}{ccl}
    x\left(t\right) & = & x_A + t \times a \\
    y\left(t\right) & = & y_A + t \times b \\
    z\left(t\right) & = & z_A + t \times c \\
    \end{array}
    \right. $$ où $t$ est un réel.

    Lionel
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