Équation d'une droite
Bonjour,
$\mathscr{P}$ est un plan affine euclidien orienté dont un repère orthonormé direct est $(\displaystyle O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$.
Le point $A$ est défini par $\overrightarrow{OA}=-3\overrightarrow{i}+4 \overrightarrow{j}$. La norme est désignée par $\left\| \: \right\|$.
Pour tout couple $(U,V)$ de points distincts de $\mathscr{P}$, $D_{UV}$ désigne la droite qui contient $U$ et $V$.
Soit $E$ l'ensemble des points $M$ de $\mathscr{P}$ tels qu'il existe un point $L$ d'abscisse nulle vérifiant les deux relations suivantes :
\begin{equation}
\displaystyle (i)\: M \in D_{AL}, \: \: \: \: \: \: (ii) \: \: \left\|\overrightarrow{LO} \right\| = \left\|\overrightarrow{LM}\right\|.
\end{equation}
Démontrer l'existence d'une forme quadratique $Q$ telle que, si $(x,y)$ sont les coordonnées de $M$, on ait :
\begin{equation}
\displaystyle (M \in E) \implies \big(x(x^2+y^2)=Q(\overrightarrow{OM})\big)
\end{equation}
On pose $\overrightarrow{OL}=\mathscr{l}\overrightarrow{j}$. Exprimons que $\displaystyle \left\|\overrightarrow{LO}\right\|^2 = \left\|\overrightarrow{LM}\right\|^2$:
\begin{equation}
\displaystyle x^2 + y^2 - 2y\mathscr{l} = 0
\end{equation}
Je bloque sur la deuxième question: quelle simple équation traduit le fait que le point $M$ défini par $\overrightarrow{OM} = x\overrightarrow{i} + y \overrightarrow{j}$ appartient à la droite $AL$ ?
Une indication pour la suite: si un point $M$ appartient à $E$, ses coordonnées vérifient un système homogène dont le calcul du déterminant aboutit à la forme quadratique recherchée. Je peux éventuellement reconstituer l'équation de la droite à partir du déterminant mais je suis plus intéressé par la démarche à suivre pour l'obtenir.
En vous remerciant pour d'éventuelles suggestions.
$\textbf{Source: "Méticuleuse étude d'une cubique unicursale"}$.
Centrale/Sup'Elec-deuxième épreuve, 1980.
$\mathscr{P}$ est un plan affine euclidien orienté dont un repère orthonormé direct est $(\displaystyle O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$.
Le point $A$ est défini par $\overrightarrow{OA}=-3\overrightarrow{i}+4 \overrightarrow{j}$. La norme est désignée par $\left\| \: \right\|$.
Pour tout couple $(U,V)$ de points distincts de $\mathscr{P}$, $D_{UV}$ désigne la droite qui contient $U$ et $V$.
Soit $E$ l'ensemble des points $M$ de $\mathscr{P}$ tels qu'il existe un point $L$ d'abscisse nulle vérifiant les deux relations suivantes :
\begin{equation}
\displaystyle (i)\: M \in D_{AL}, \: \: \: \: \: \: (ii) \: \: \left\|\overrightarrow{LO} \right\| = \left\|\overrightarrow{LM}\right\|.
\end{equation}
Démontrer l'existence d'une forme quadratique $Q$ telle que, si $(x,y)$ sont les coordonnées de $M$, on ait :
\begin{equation}
\displaystyle (M \in E) \implies \big(x(x^2+y^2)=Q(\overrightarrow{OM})\big)
\end{equation}
On pose $\overrightarrow{OL}=\mathscr{l}\overrightarrow{j}$. Exprimons que $\displaystyle \left\|\overrightarrow{LO}\right\|^2 = \left\|\overrightarrow{LM}\right\|^2$:
\begin{equation}
\displaystyle x^2 + y^2 - 2y\mathscr{l} = 0
\end{equation}
Je bloque sur la deuxième question: quelle simple équation traduit le fait que le point $M$ défini par $\overrightarrow{OM} = x\overrightarrow{i} + y \overrightarrow{j}$ appartient à la droite $AL$ ?
Une indication pour la suite: si un point $M$ appartient à $E$, ses coordonnées vérifient un système homogène dont le calcul du déterminant aboutit à la forme quadratique recherchée. Je peux éventuellement reconstituer l'équation de la droite à partir du déterminant mais je suis plus intéressé par la démarche à suivre pour l'obtenir.
En vous remerciant pour d'éventuelles suggestions.
$\textbf{Source: "Méticuleuse étude d'une cubique unicursale"}$.
Centrale/Sup'Elec-deuxième épreuve, 1980.
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Réponses
$\vec{AM}\wedge\vec{LM}=0$ avec une troisième coordonnée nulle... si les notations ne te conviennent pas.
...
\begin{equation}
\displaystyle \frac{y-\mathscr{l}}{x} = \frac{4-\mathscr{l}}{-3} \: \Longleftrightarrow \: (4-\mathscr{l})x + 3(y- \mathscr{l})=0
\end{equation}
On écrit ensuite le système homogène: il admet $(\mathscr{l},1)$ comme solution si son déterminant est nul. Ce qui implique:
\begin{equation}
\displaystyle x(x^2+y^2)=3y^2 +8xy -3x^2=Q(x,y)
\end{equation}
Dites, à propos du $\textbf{produit vectoriel}$: il n'est pas défini dans le plan n'est-ce pas ?
ps: la cubique en question est une strophoïde.
...
Il n'y a pas de produit vectoriel défini dans le plan.
Ce n'est qu'un abus de physiciens retenu par certains en raison de l'analphabétisme ambiant!
Par contre dans le plan euclidien orienté, on dispose du produit mixte de deux vecteurs, i.e déterminant de deux vecteurs dans une base orthonormée directe, qui convient très bien à la situation!
Amicalement
[small]p[/small]appus
...