Des droites concourantes et un automorphisme

seezy189
seezy189
dans Géométrie
Bonjour j'ai un problème sur deux exercices.

Le premier.
On se place dans le plan muni d'un repère orthonormé direct (0,i,j) . On considère 3 points A,B,C d'affixes respectifs a, b, c. On construit les triangles isocèles rectangles BCP,CAQ et ABR, extérieurs à ABC et d’hypoténuses respectives BC, AC, AB, les affixes de P, Q et R sont notés p, q, r.

1) calculer (c-p)/(b-p)
Mon idée est donc de le voir comme z = |z|e^i*theta, avec ici |z|=1 et thêta déterminé avec arg(z)=pi/2 (là je ne suis pas sûr car pourquoi pas -pi/2) ... et j'obtiendrais que (c-p)/(b-p)= i

2) Exprimer p, q et r en fonction de a, b, c
J'obtiens que p = (b*i-c)/(i-1), q = (b*i-a)/(i-1), r = (a*i-c) / (i-1) (là je ne pense pas que c'est ça car mes expressions varient selon ce que je considère ...

3) Après avoir montré que les droites (AP) et (QR) sont orthogonales et que les segments [AP] et [QR] ont la même longueur, montrer que (AP), (BQ) et (CR) sont concourantes.
Là l'idée est donc de montrer que le vecteur AP est orthogonal au vecteur QR en faisant le produit scalaire des deux et [de] montrer qu'il est nul et à partir de là plus rien ...


2 ème mini exo
Soit g une application de Rn dans Rn qui préserve la norme. Montrer que g est linéaire et bijective.

Ici le problème vient de la linéarité, après avoir essayé de faire pareil que on le ferait pour montrer la linéarité d'une application qui conserve le produit scalaire sans succès, là je ne vois pas. Après une fois qu'on a la linéarité on a par l'identité de polarisation que g équivaut à conserver le produit scalaire et on montre assez simplement la bijectivité par le théorème du noyau et on conclut car g est un endomorphisme où les espaces sont finies.

Voilà merci d'avance pour tout aide.

Réponses

  • Amathoué
    Amathoué
    Bonjour,

    Pour ton mini-exo (j’ai lu ton message en diagonal), on peut calculer $||f(x+y)||^2$, qui vaut:
    $<f(x+y),f(x+y)>$ (rappel: la norme euclidienne, comme son nom l’indique dérive d’un produit scalaire).
  • pappus
    pappus
    Bonjour
    Seezy189 a écrit:
    car g est un endomorphisme où les espaces sont finies.
    L'orthographe et le sens mathématique de cette phrase laissent beaucoup à désirer.
    J'ai souvent remarqué que l'un ne va pas sans l'autre!
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour,

    D'une part, Géogébra comprend les nombres complexes et tu peux donc vérifier qu'il est d'accord avec tes résultats.
    D'autre part, le produit scalaire en complexes est $u.v=\dfrac{1}{2}(u\overline{v}+\overline{u}v)$.

    Cordialement,

    Rescassol
  • seezy189
    seezy189
    @Rescassol merci à toi j'ai pu finir l'exo ...

    @Amathoué

    je ne vois pas en quoi calculer cette norme permet de prouver la linéarité ...
  • Amathoué
    Amathoué
    Bonjour,

    En regardant $<f(x+y)-f(x)-f(y),f(x+y)-f(x)-f(y)>$, tu devrais voir pourquoi. Et faire la même chose avec $||f(\lambda x)-\lambda f(x)||^2$, pour tout couple de vecteurs $(x,y)$ et tout scalaire $\lambda$. On pourrait le faire directement mais cela alourdit les calculs. Il faut comprendre ici qu’on exploite la bilinéarité du produit scalaire et la conservation de la norme pour obtenir ce qu’on veut. En fait, dans un espace euclidien, conservation de la norme équivaut à conservation du produit scalaire, chacun donnant la linéarité.
  • seezy189
    seezy189
    Bonjour ,

    pour l'étape avec lambda aucun soucis cela fait bien 0 , cependant pour l'autre ... j'ai déjà essayé de faire comme ça , même en décomposant les 2 étapes je ne m'en sors jamais . Pour montrer la linéarité du produit scalaire on fait pareil mais tout se simplifie ... la je ne vois pas . Dans un premier temps j'arrive par bilinéarité du ps à : ||x+y||^2+||x||^2+||y||^2
    -2*( (f(x+y) | f(x) ) + ( f(x+y) | f(y) ) - ( f(x) | f(y) ) Puis même en essayant d'utiliser l'identité de polarisation je ne m'en sors pas ...
  • Amathoué
    Amathoué
    Bon. $f$ préserve la norme et nous sommes dans un espace euclidien, cette norme dérive d'un produit scalaire $<\cdot,\cdot>$, de sorte que :
    \begin{eqnarray}

    ||x+y||^2 & = & ||f(x+y)||^2 \\
    & = & <f(x+y),f(x+y)>\\
    \end{eqnarray}
    d'une part, et
    \begin{eqnarray}
    ||x+y||^2 & = & <x,x>+2<x,y>+<y,y> \\
    & = & <f(x),f(x)>+2<f(x),f(y)>+<f(y),f(y)>\\
    & = & <f(x)+f(y),f(x)+f(y)> \\
    \end{eqnarray}
    d'autre part. Je te laisse terminer.
  • seezy189
    seezy189
    +2<x,y> = +2<f(x),f(y)>

    N'utiliserais-tu pas la conservation du produit scalaire ?
    En fait, dans un espace euclidien, conservation de la norme équivaut à conservation du produit scalaire, chacun donnant la linéarité.

    Oui mais je ne connaît pas cette propriété enfin on ne l'a pas vu ... donc pas utilisable dans le dm ... car oui bien sûr que la question est finie je sais montrer la linéarité d'une application qui conserve le produit scalaire ... Du moins pour utiliser une propriété que l'on ne connaît pas encore , il faut la démontrer ... peux-tu me la donner ?
  • Amathoué
    Amathoué
    Heu, oui tu as raison. J'ai été un peu vite là...excuse-moi.
    C'est plutôt :
    Dans un espace euclidien, si une application $f$ conserve la distance induite($i.e$ par une norme donnée) avec $f0)=0$ alors $f$ est linéaire.
    (car dans ce cas on a bien la conservation du produit scalaire).
    Sinon, effectivement , on a besoin de la linéarité pour avoir la conservation du produit scalaire.
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