Normales à une parabole

Mon cher Piteux_gore
Si les normales forment un triangle équilatéral, les tangentes feront de même par esprit de solidarité.
Or le lieu des points d'où on peut mener des tangentes à la parabole faisant un angle (de droites) donné est connu.
C'est une hyperbole de même foyer et directrice associée que la parabole.
Dans le cas d'espèce, (angles de $60°$), l'excentricité devrait être égale à $2$, je cite de mémoire $SGDG$.
Il était alors relativement facile autrefois de conclure, aujourd'hui on peut démontrer que c'est mission impossible avec pour tout viatique la classification des coniques!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonne Nuit
Avant d'aller faire dodo, je rêve un peu sur ma figure tout en somnolant.
Je note quelques propriétés dont je ne suis pas tout à fait sûr mais qui me paraissent vraisemblables.
1° Les triangles $T_1T_2T_3$ et $M_1M_2M_3$ sont en homologie. Déterminer le pôle, l'axe et le module de cette homologie.
Je m'aperçois que les homologies sont défuntes. Qu'à cela ne tienne, on passe à la géométrie affine qui ne vaut d'ailleurs pas mieux que la géométrie projective!
2° Soit $f$ l'application affine envoyant $T_1T_2T_3$ sur $M_1M_2M_3$.
Montrer que le polynôme caractéristique de la partie linéaire $\overrightarrow f$ appartient à l'anneau de polynômes $\mathbb Z[X]$.
En déduire la classe de conjugaison de $f$ dans le groupe affine. Je
Vu le peu de succès de la géométrie affine qui se limite aujourd'hui à l'axiome de Thalès, il est peut-être plus prudent de se replier sur la géométrie euclidienne impavide depuis plus de $2000$ ans.
3° Montrer que le centre de $T_1T_2T_3$, (dont on savait autrefois qu'il était sur la directrice de la parabole,aujourd'hui on ne sait plus mais c'est un pléonasme de le dire), est aussi l'orthocentre du triangle $M_1M_2M_3$.
4° Montrer que les triangles $M_1M_2M_3$ ont tous le même point de Fermat. Quel est-il?
Si après toutes ces élucubrations, on ne dispose pas d'un moyen simple de construire tous ces satanés triangles $M_1M_2M_3$ dont les normales forment un triangle équilatéral, je m'arrache mon dernier cheveu occipital!
Mais je peux dormir tranquille, il ne se passera rien et l'on continuera à montrer que trois points sont alignés ou trois droites concourantes, histoire de ronronner et de passer le temps!
Amicalement
[small]p[/small]appus