Le théorème amoindri
dans Géométrie
Bonjour.
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Deuxième cas d’égalité des triangles : Si deux triangles ont deux angles
égaux et les côtés entre ces angles égaux, alors ils sont isométriques.
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J'ai étudié soigneusement ce deuxième cas d'égalité des triangles quelconques .
J'ai conclu que les cotés entre ces angles égaux ce n'est pas une condition nécessaire et suffisante.
C'est-à-dire que les cotés peuvent ne pas être entre ces angles égaux .( en dehors ces angles égaux)
Alors ces triangles sont isométriques.
Que pensez-vous.
Cordialement.
Djelloul Sebaa
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Deuxième cas d’égalité des triangles : Si deux triangles ont deux angles
égaux et les côtés entre ces angles égaux, alors ils sont isométriques.
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J'ai étudié soigneusement ce deuxième cas d'égalité des triangles quelconques .
J'ai conclu que les cotés entre ces angles égaux ce n'est pas une condition nécessaire et suffisante.
C'est-à-dire que les cotés peuvent ne pas être entre ces angles égaux .( en dehors ces angles égaux)
Alors ces triangles sont isométriques.
Que pensez-vous.
Cordialement.
Djelloul Sebaa
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Réponses
Rappel, avec les notations traditionnelles :
Il existe une isométrie transformant $A$ en $A'$, $B$ en $B'$ et $C$ en $C'$ si
(1) $\quad\alpha = \alpha'$, $\beta = \beta'$ et $|AB|=|A'B'|$
ou si
(1') $\quad\beta = \beta'$, $\gamma = \gamma'$ et $|AB|=|A'B'|$
ou si
(1'') $\quad\gamma = \gamma'$, $\alpha = \alpha'$ et $|AB|=|A'B'|$
ou si
(2) $\quad\alpha = \alpha'$, $|AB|=|A'B'|$ et $|AC| = |A'C'|$
ou si
(3) $\quad|AB|=|A'B'|$, $|BC|=|B'C'|$ et $|CA|=|C'A'|$.
De plus (cas difficile) il existe une isométrie transformant $A$ en $A'$, $B$ en $B'$ et $C$ en $C'$ si
$\quad\alpha = \alpha'$, $|AB|=|A'B'|$, $|BC| = |B'C'|$
et
ou bien $|AB|<|BC|$ ou alors $|BC|=|AB|\sin\alpha$.
il faut remarquer que si deux triangles ont deux angles respectivement égaux , alors ils ont leurs trois angles égaux .
Donc il suffit qu'ils aient un côté égal , n'importe lequel , pour qu'ils soient isométriques car ce côté est toujours compris entre deux angles respectivement égaux .
Cordialement
$$
\alpha<\beta \Longleftrightarrow a<b \quad\text{et}\quad \alpha=\beta \Longleftrightarrow a=b
$$
Conditions d'isométrie des triangles (de mon temps on disait égalité)
- un côté et 2 angles égaux
- deux côtés et l'angle inscrit égaux
- trois côtés égaux
On retrouve cela sur beaucoup de sites internet et notamment Wikipédia par exemple.
La formulation de Djelloul "Si deux triangles ont deux angles égaux et les côtés le côté entre ces angles égaux, alors ils sont isométriques" est la formulation d'Euclide, qu'on enseignait encore en quatrième en France jusque vers 1970 ("triangles égaux"), et elle correspond à une idée de construction de triangles à la règle et au compas. Bien entendu, comme on étudiait en troisième les triangles semblables et que l'on savait que deux triangles semblables ayant un côté homologue correspondant sont "égaux", on n'avait pas besoin de généraliser ce cas. D'ailleurs, ça ne coûtait rien, pour un élève de quatrième (*), de se ramener à cette formulation par calcul d'angles.
Cordialement.
(*) évidemment, il ne s'agissait pas des quatrièmes actuels, mais d'une partie d'une génération, triée par un enseignement exigeant. Voir les sujets de certificat d'étude, faits sans algèbre par ceux qui n'allaient pas en quatrième.
Bruno
Je ne suis pas sûr que Djelloul est en train d'étudier les "éléments" d'Euclide.
Cordialement.
On demande ensuite à l'élève en A1 de comparer par transparence son triangle avec celui de l'élève en H8.
On matérialise ainsi le déplacement qui amène le triangle de A1 sur celui de H8
et on concrétise la phrase Il existe un déplacement qui amène ABC en A'B'C'.
On évite ainsi de se tortiller avec des mots comme homologue ou autres sottises.
Pour que ce soit rentable, on demandera à la moitié élèves de dessiner un triangle ABC et aux autres un triangle CBA orienté autrement.
On ne manquera pas de travailler le faux 2e cas ab$\alpha$.
Je tape sur le même clou que gérard0
Bruno