Triangle équilatéral inscrit dans parabole

@ poulbot
Je n'ai pas retrouvé sur le forum les messages qui démontrent la première construction que tu m'as donnée. Mais j'ai trouvé comment faire en suivant la correction d'un exercice dans le livre d'exercices de Bernard Gostiaux Exercices de mathématiques spéciales. Je m'inspire de la méthode développée pour déterminer le lieu des centres des triangles équilatéraux inscrits dans une parabole.

On cherche les conditions pour qu'un cercle coupe la parabole en trois points formant un triangle équilatéral.

Paramétrisation du cercle coupant la parabole
Soit $(a,b)$ les coordonnées d'un point $\Omega$, le cercle de centre $\Omega$ et de rayon $R$ se paramètre par : $$
x = a + R\cos t, \quad y = b + R\sin t .
$$ On pose $u = e^{it}$ on a $ \cos t = \frac{1}{2} \left( u + \frac{1}{u} \right )$, puis $\sin t = -\frac{i}{2} \left( u - \frac{1}{u} \right )$. On obtient la paramétrisation : $$
x = a + \frac{R}{2} \left( u + \frac{1}{u} \right ), \quad y = b -i\frac{R}{2} \left( u - \frac{1}{u} \right ).

$$ Points d'intersection du cercle et de la parabole
Ce sont les solutions de module égal à 1 de l'équation d'inconnue $u$ : $$
\left (b-i\frac{R}{2} \left( u-\frac{1}{u} \right) \right )^2 -2p \left( a+ \frac{R}{2} \left( u+ \frac{1}{u} \right ) \right )= 0.

$$ En développant, on est amené à étudier les racines du polynôme $Q(u)$ avec : $$
Q(u) = \frac{R^2}{4}u^4 + R(p+ib)u^3 + u^2\left(2pa-b^2-\frac{R^2}{2}\right) + uR(p-ib) +\frac{R^2}{4}
$$ On montre que ce polynôme admet 4 racines de module 1 du type $\alpha$, $j\alpha$, $j^2\alpha$, et $\beta$.

$\alpha$, $j\alpha$, $j^2\alpha$ donnent les sommets du triangle équilatéral ; $\beta$ correspond au point de coordonnées $(x_{\beta}, y_{\beta})$ choisi arbitrairement sur la parabole pour commencer la construction.
On a une expression simple de $\beta$ en faisant la somme des racines : $$
\alpha + j\alpha + j^2\alpha + \beta = \beta = -\frac{4}{R}(p+ib)
$$ On en déduit alors $x_{\beta} = a - 4p, \quad y_{\beta} = -3b$, d'où les coordonnées de $\Omega$ : $$
a = x_{\beta} + 4 p, \quad b = -\frac{1}{3}y_{\beta}.

$$ Pour la seconde construction où l'on part d'un des sommets, je sèche car l'expression de $\alpha$ est nettement plus compliquée... Je ne vois pas comment faire apparaître l'hyperbole dont tu parles.