Cercles de Villarceau et hexlet de Soddy

Sur cette figure on voit un hexlet de Soddy (les 6 boules) et, en rouge, les cercles de Villarceau de la cyclide qui enveloppe cet hexlet. Je me suis rendu compte, graphiquement, de la propriété suivante: chaque cercle de Villarceau est tangent à chacune des six boules. Ça marche aussi avec tout autre nombre de boules $\geq 3$ (une chaîne de Steiner en 3D). Comment prouver cette propriété ?