Géodésiques du plan

marco · November 2018

Bonjour,

Soit $E=\R^2$, soit $O=(0,0) \in E$, soit $F=E \setminus O$. Est-ce qu'il existe une métrique sur $F$ telle que les cercles de centre $O$ et les demi-droites (ouvertes) ayant $O$ pour origine soient des géodésiques de $F$ ? De plus, il faut que pour tout point $M \in F$, la longueur du segment $]O,M]$ soit finie.
Sinon, le cylindre convient.

Merci d'avance.

Seirios · November 2018

Peut-être en regardant la surface de révolution associée à une droite paramétrée de sorte que l'un des points "à l'infini" est à distance finie de tous les points de la droite. (Autrement dit, il faudrait paramétrer la droite en exp(- la longueur d'arc), ou quelque chose comme ça.)

GaBuZoMeu · November 2018

Peut-être que je ne comprends pas bien, mais la métrique sur $\mathbb C\setminus \{0\}$ induite par le plongement $\rho e^{i\theta}\mapsto (\cos\theta,\sin\theta,\rho)$ dans $\mathbb R^3$ ne convient pas ?

marco · November 2018

Merci, effectivement.

GaBuZoMeu · November 2018

Autrement dit, prendre pour métrique $\mathrm d\rho^2+ \mathrm d \theta^2$.

Géodésiques du plan

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