Éléments de géométrie

Je ne crois pas – vraiment pas. Il vaut mieux étudier des livres écrits dans un langage plus moderne pour comprendre la géométrie et, plus tard, un jour, si tu veux faire de l'histoire des mathématiques, tu te tourneras vers les textes historiques.

Les structures algébriques permettent d'une part de construire la géométrie sur un système d'axiomes « propre » (plutôt que définir un point comme « ce qui n'a pas de dimension », c'est-à-dire par une propriété négative que l'on ne comprend pas, on définit un point comme un élément d'un espace affine) et d'autre part d'interpréter et parfois de raccourcir les démonstrations ; elles ne se substituent pas aux démonstrations géométriques.

Ce que l'on peut faire pour essayer de tuer la géométrie, c'est tout ramener à des résolutions de systèmes – en pratique, sur un problème de géométrie plane, les connaissances et l'intuition de Pappus ou Poulbot sont beaucoup plus efficaces que le mauvais usage d'un logiciel de calcul formel, même si en principe les deux doivent conduire au même résultat.

Ensuite, savoir quels livres étudier, ça dépend de ton niveau : lycée ? post-bac ?

Tout à fait SiouxLeger. Hadamard, c'est le meilleur. Pas de parachute, tout s'imbrique parfaitement. Il n'y a pratiquement pas d'èquation et ça nourrit bien l'intuition. L'algèbrisation ça se digère nettement mieux. Sur le site ams.org, deux livres gratuits rédigés par Mark Saul contenant la résolution de tous les exercices du Tome I

Bonjour
On ne peut plus enseigner la géométrie comme Hadamard ou Lebossé-Hémery le faisaient. On a d’ailleurs tranché la question en ne l’enseignant plus du tout.
La géométrie appartient désormais à l’histoire au moins tant qu’il reste encore des historiens.
Amicalement
[small]p[/small]appus

Les ouvrages anciens m'ont parfois été d'un grand secours.
Par exemple, je m'angoissais beaucoup (si si !) sur la notion de droite polaire par rapport à un cercle.
Elle était systématiquement liée à la définition que l'on trouve dans les ouvrages actuels:

$\textbf{Définition:}$ Deux points $M$ et $M'$ sont conjugués par rapport à un cercle $(C)$ si ils sont conjugués harmoniques par rapport aux points où la droite qui les joint coupe le cercle.

Mais alors la question se posait: qu'en est-il lorsque la droite $MM'$ ne coupe pas le cercle ?

Car après tout la droite polaire (par rapport à un cercle) est bel et bien une droite et non un segment joignant deux points dudit cercle !
Il doit bien y avoir une définition plus générale qui justifie l'existence de cette droite.
En parcourant la page 132 du tome 1 (Géométrie dans le plan) de Hadamard, on peut lire:

"Nous devons cependant observer que cette définition ne s'applique plus lorsque le droite $MM'$ ne coupe pas le cercle $(C)$.

Or nous savons (nous savions ?) que, si la droite $MM'$ coupe le cercle $(C)$, une condition nécessaire et suffisante pour que $M$ et $M'$ soient conjugués harmoniques par rapport aux points d'intersection est que le cercle de diamètre $MM'$ soit $\textbf{orthogonal}$ par rapport au cercle $(C)$".

Et voilà qu'on aperçoit la lumière au bout du quadrilatère !

Ces trésors de pédagogie ne figurent plus dans aucun livre actuel de géométrie mais seulement dans ceux, plus anciens, qui prennent la poussière sur les étagères de la bibliothèque universitaire.
En revanche et sauf votre respect, il est faux de dire que la géométrie a disparu de l'enseignement.
J'ai sous les yeux un ouvrage très récent: $\textbf{"Manuel de mathématiques-volume 2-algèbre et géométrie-1ère année de prépas scientifiques-MP/SI-PC/SI-Ellipses"}$.
Les chanceux qui suivront ce cursus devront se frotter à des notions de géométrie élémentaire dans le plan et l'espace, automorphismes orthogonaux, applications affines, isométries et similitudes. Elles figurent toutes au menu des programmes actuels. Par contre d'autres (comme celle de puissance d'un point par rapport à un cercle) ont disparu de l'enseignement secondaire et on peut bien se demander pourquoi.
Et pourquoi la géométrie projective que Klein considérait comme la matrice (sans jeux de mots) de toutes les géométries n'est-elle pas enseignée dès les premières années d'université ?

La géométrie a subi une axiomatisation brutale qui a semblé l'éclipser alors qu'elle ne faisait que s'enrichir. Le reste ne relève que des politiques éducatives et de choix plus ou moins judicieux faits dans ce cadre.

ps: Et je voudrais rajouter qu'un livre de géométrie sans la moindre figure est tout aussi absurde qu'un livre d'algèbre dans lequel il n'y aurait que des triangles. Tout ce qui est excessif est insignifiant.
...

Bonsoir
Quand je parle de l’enseignement de la géométrie, je pense évidemment à ce qu’on apprend dans le Secondaire, c’est à dire peu de chose pour ne pas dire pratiquement rien, en tout cas rien qui puisse préparer nos futurs étudiants à affronter les difficultés de la géométrie enseignée à l’Université si elle l’est!
Amicalement
[small]p[/small]appus