Calcul 3D : profondeur
Bonjour,
Est-il possible, d'après photo, d'évaluer la profondeur d'un objet ?
(mes souvenirs de géométrie spatiale remontent au lycée, il y a plus de 30 ans!)
Voici mon cas pratique:
Sachant que [AB] = [CD] = 5 cm
Quelle est, si possible, la fomule pour calculer la longueur réelle [AC] (=la profondeur du boitier) ?
NB: tous les angles sont à 90° (boîtier parallélipédique)
D'autres données sont-elles requises ? Lesquelles ?
Par avance, merci pour votre aide.
@+
Mateus
Est-il possible, d'après photo, d'évaluer la profondeur d'un objet ?
(mes souvenirs de géométrie spatiale remontent au lycée, il y a plus de 30 ans!)
Voici mon cas pratique:
Sachant que [AB] = [CD] = 5 cm
Quelle est, si possible, la fomule pour calculer la longueur réelle [AC] (=la profondeur du boitier) ?
NB: tous les angles sont à 90° (boîtier parallélipédique)
D'autres données sont-elles requises ? Lesquelles ?
Par avance, merci pour votre aide.
@+
Mateus
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Réponses
Les images de $B$ et $D$ sur la photographie semblent sur la même verticale. Nous ferons cette hypothèse. L'axe $Oz$ est alors parallèle à $(BD)$, $Ox$ à $(AB)$, $Oy$ est perpendiculaire au mur, contenu dans le plan $OBD$. La photographie est l'image de l'espace par la projection centrale de centre $O$ sur un plan parallèle à $Oxz$, d'équation $y = d$. Soit $O'$ le point intersection de $Oy$ avec le plan de projection.
Soient $a$, $y$, $y'$, $z$ tels que les coordonnées des points $A$, $B$, $C$, $D$ soient dans le repère $Oxyz$ :
$A = (a,y,z)$
$B = (0,y,z)$
$C=(a,y',z)$
$D=(0,y',z$)
Dans le repère $O'xz$ du plan de la photographie, on a :
$A' = (\frac{da}{y},\frac{dz}{y})$
$B' = (0,\frac{dz}{y})$
$C'=(\frac{da}{y'},\frac{dz}{y'})$
$D'=(0,\frac{dz}{y'})$
On ignore où est $O'$ sur la photographie. On a :
$a$ connu = 5cm
$\frac{da}{y}$ est connu, distance de $A'$ à $B'$ à mesurer sur la photo, donc $\frac{d}{y}$ est connu.
$\frac{da}{y'}$ est connu, distance de $C'$ à $D'$ à mesurer sur la photo, donc $\frac{d}{y'}$ est connu.
$dz(\frac{1}{y}-\frac{1}{y'})$, est connu, distance de $B'$ à $D'$ à mesurer sur la photo. Comme $\frac{d}{y}$ et $\frac{d}{y'}$ sont connus, $z$ est connu. Accessoirement, on a alors disposer $O'$ sur la photo.
Malheureusement, il manque une donnée pour déterminer $y$ et $y'$ (et $d$ mais cette dernière quantité nous intéresse peu). On ne sait pas si le boîtier est vu de loin avec une grande profondeur, ou vu de près avec une petite profondeur. Si on connaissait la distance $y'$ de l'observateur au mur, on pourrait en déduire $d$ puis $y$ puis la profondeur $y'-y$.
Merci pour ce début de réponse très prometteur ! :-)
La photo a été prise à une distance d'environ 50 cm.
La formule finale de calcul serait quoi ?
(à cette heure avancée et vu mes lointains souvenirs, j'ai pas tout suivi :-S )
@+
Mateus.
Il me semble qu'on avait parlé de ce problème il y a quelques années.
Une photo suffit-elle vraiment à faire des calculs?
N'en faudrait-il pas plusieurs prises sous des angles différents?
Amicalement
[small]p[/small]appus
On a $a=5 {\rm cm}$.
Les distances mesurées sur mon écran sont :
$A'B' = \frac{da}{y} = 12,9 {\rm cm}$, donc $\frac{d}{y} = \frac{12,9}{a} = 2,58$
$C'D' = \frac{da}{y'} = 8,1 {\rm cm}$ donc $\frac{d}{y'} = \frac{8,1}{a} = 1,62$ donc $d = 1,62y' = 81 {\rm cm}$.
La distance $d$ est purement fictive puisqu'elle correspond à une photo agrandie sur un écran d'ordinateur.
Donc $y=\frac{d}{2.58} {\rm cm} = \frac{81}{2.58} {\rm cm} = 31,4 {\rm cm}$
Donc la profondeur est $y'-y = 50 - 31,4 {\rm cm} = 18,6 {\rm cm}$
ce qui est probablement aberrant, compte tenu de la largeur du boîtier.
Si c'est la photo est prise à 40 cm, alors les calculs deviennent :
$A'B' = \frac{da}{y} = 12,9 {\rm cm}$, donc $\frac{d}{y} = \frac{12,9}{a} = 2,58$
$C'D' = \frac{da}{y'} = 8,1 {\rm cm}$ donc $\frac{d}{y'} = \frac{8,1}{a} = 1,62$ donc $d = 1,62y' = 64,8 {\rm cm}$.
Donc $y=\frac{d}{2.58} {\rm cm} = \frac{64.8}{2.58} {\rm cm} = 25,1 {\rm cm}$
et la profondeur est 14,9 cm. Bof, bof.
Je conclurais donc que la projection qu'effectue un appareil photo n'est pas une projection centrale. Je ne sais donc pas répondre au problème posé.