Question de conique à centre
dans Géométrie
Bonsoir à tous !
On sait que trois points non alignés et leurs symétriques par rapport à un quatrième point permettent de définir une conique à centre, ellipse ou hyperbole, dont le centre est ce quatrième point.
Ma question : comment construire les foyers de cette conique ? Quelles propriétés ou quels théorèmes permettent de le réaliser ?
Merci beaucoup de vos réponses !
Bien cordialement
On sait que trois points non alignés et leurs symétriques par rapport à un quatrième point permettent de définir une conique à centre, ellipse ou hyperbole, dont le centre est ce quatrième point.
Ma question : comment construire les foyers de cette conique ? Quelles propriétés ou quels théorèmes permettent de le réaliser ?
Merci beaucoup de vos réponses !
Bien cordialement
Réponses
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Bonne nuit à tous
Je pense avoir trouvé la réponse, au moins dans le cas d'une ellipse, chez nos très respectés Lebossé et Hémery !
"Le lieu des projections d'un foyer sur les tangentes à une ellipse est le cercle principal de cette ellipse" et "le cercle principal d'une ellipse est le cercle dont un diamètre est le grand axe de l'ellipse"
Application sur la figure jointe.
Vérification à l'aide de la bissectrice des rayons vecteurs associés à un point de l'ellipse, qui doit être confondue avec la normale à la tangente en ce point.
Je verrai plus tard le cas de l'hyperbole ...
Bien cordialement -
Merci beaucoup, GaBuZoMeu, de ce document intéressant !
Bien cordialement -
Bonne Nuit
La question de Jelobreuil n'est pas sans intérêt mais elle est délicate car on demande de construire des éléments métriques comme les foyers à partir d'éléments affines à savoir les points $A$, $B$, $C$ et le centre $O$.
Le point important est de disposer d'un logiciel de géométrie. Personnellement comme Poulbot, j'utilise Cabri pour les mêmes raisons que lui.
Sur ma figure ci-dessous, je suggère une construction en plusieurs étapes.
1° On construit les symétriques respectifs $A'$, $B'$, $C'$ des points $A$, $B$, $C$ par rapport au point $O$.
2° Cabri dispose de l'outil: conique passant par $5$ points.
On choisit donc les points $A$, $B$, $C$, $A'$, $B'$ auxquels on applique l'outil en question et on voit apparaître sur son écran la conique $\Gamma$ qui a le bon gout de passer par $C'$.
Voilà un premier mystère à expliquer.
3° L'étape suivante est de construire le triangle des contacts $I_AI_BI_C$.
On montre (cela commence à faire beaucoup de choses à montrer) qu'il est en perspective avec le triangle $ABC$, le centre de perspective $I$ étant appelé le perspecteur de la conique $\Gamma$ par rapport au triangle $ABC$.
On montre (même refrain) que les points $O$ et $I$ sont isotomiques par rapport au triangle médial $\alpha\beta\gamma$, ce qui permet de construire le point $I$ puis de remonter au triangle des contacts $I_AI_BI_C$.
La construction du point $I$ lui même est affine. Celle des points $I_A$, $I_B$, $I_C$ est projective mais de mon temps on l'apprenait en Seconde, (o tempora o mores!).
4° On arrive enfin à l'étape métrique.
Les foyers $F$ et $F'$ sont isogonaux dans le triangle $I_AI_BI_C$( voir les défunts théorèmes de Poncelet) et on connait leur milieu $O$.
Or il existe une macro de notre ami Poulbot qui construit deux points isogonaux de milieu donné, construction dont je ne me souviens plus car je suis loin de mes bases in the golden mountains!
Ainsi la messe est dite et il y a énormément de géométrie du triangle à savoir mais il y en a beaucoup qui aiment cela!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Bonjour Pappus, Bonjour à tous,
Merci Pappus de ton intérêt et de tes indications très détaillées que je me ferai un plaisir d'étudier ! Et bon séjour aux "golden mountains" !
J'utilise pour ma part Geogebra, qui a lui aussi, entre autres, l'outil "tracé de conique passant par cinq points".
Comme toi, je commence par construire les symétriques des trois points A, B et C par rapport au centre, et par tracer la conique passant par cinq de ces points, mais ensuite nos constructions divergent : je connais le centre de la conique, donc je peux tracer le cercle principal de la conique, tangent à celle-ci en ses deux sommets extrémités de son grand axe, puis je construis deux tangentes à la conique, qui coupent chacune le cercle principal en deux points, et je construis les perpendiculaires à chacune de ces tangentes en ces deux points d'intersection. Les foyers de la conique sont alors deux des quatre points d'intersection de ces quatre perpendiculaires, bien entendu ceux qui se trouvent à l'intérieur du cercle principal.
C'est ce que j'ai fait pour l'ellipse hier soir, et pour l'hyperbole ce matin, toujours en me basant sur les indications de Lebossé et Hémery.
On peut vérifier cette construction en construisant les bissectrices de l'angle formé par les rayons vecteurs associés à un point de la conique : ces bissectrices doivent être confondues avec la tangente et la normale à la conique en ce point.
Je me demande si les deux seuls autres points d'intersection de mes quatre perpendiculaires aux tangentes (qui sont parallèles deux à deux), outre qu'ils se trouvent, par symétrie, sur la droite portant le petit axe de la conique, ont d'autres particularités : ne s'agit-il pas de points fixes, liés aux deux foyers ?
Bien cordialement
JLB -
je connais le centre de la conique, donc je peux tracer le cercle principal de la conique, tangent à celle-ci en ses deux sommets extrémités de son grand axe,
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Bonjour Jelobreuil
" je connais le centre de la conique, donc je peux tracer le cercle principal de la conique, tangent à celle-ci en ses deux sommets extrémités de son grand axe"
D'accord, mais comment fais-tu?
Amicalement. Poulbot
Message superflu, GaBuZoMeu ayant déjà posé la même question. -
Bonjour
Une fois ma construction achevée, on projette orthogonalement les deux foyers sur les trois tangentes qu’on a sous les yeux pour obtenir six points du cercle principal, trois de plus qu’il n’en faut pour pouvoir le tracer.
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Bonjour
Une possibilité pour construire les axes : $Oa,Oa^{\prime },Ob,Ob^{\prime }$ sont parallèles respectivement à $BC,BC^{\prime },CA,CA^{\prime }$
(si on préfère,$Oa,Oa^{\prime },Ob,Ob^{\prime }$ passent respectivement par les milieux de $\left[ BC^{\prime }\right] ,\left[ BC\right] ,\left[ CA^{\prime }\right] ,\left[ CA\right] $).
Reste l'explication à fournir.
Amicalement. Poulbot -
Bonjour Poulbot, GaBuZoMeu,
Je reconnais que c'est assez empirique : je me sers de l'outil de Geogebra "Cercle "centre-point" pour construire à vue, par approche continue (en faisant glisser ma souris), en prenant pour centre O, mon "quatrième" point, le cercle tangent à la conique en deux points diamétralement opposés.
Je suis bien conscient que ce n'est pas très rigoureux ; d'ailleurs, sur les figures que j'ai tracées et incluses dans mes deux messages précédents, quand je demande à Geogebra les points d'intersection de "mon" cercle principal et de la conique, il me répond qu'il n'y en a pas, ce qui signifie que je n'ai pas assez fait glisser ma souris pour que "mon" cercle principal soit vraiment tangent à la conique, et donc qu'il devrait être un tout petit peu plus grand.
Il me vient maintenant à l'idée qu'il me suffit, pour être rigoureux, de mettre à profit le fait que la droite D portant l'axe focal de la conique et la droite perpendiculaire à D en O sont des axes de symétrie de la figure dans son ensemble et que je n'ai donc qu'à tracer un cercle de centre O, qui coupe la conique en quatre points, et à tracer les deux cordes de part et d'autre de O : la droite joignant les milieux de ces deux cordes porte l'axe focal de la conique, et les deux points d'intersection de cette dernière droite avec la conique sont les extrémités de l'axe focal de celle-ci.
Ce principe et ces explications vous agréent-ils ?
Je n'ai guère le temps de reprendre mes figures pour le moment, mais je le ferai incessamment sous peu ...
Bien cordialement
JLB
PS Poulbot, nos derniers messages se sont croisés ... -
Merci Jelobreuil
Ta méthode empirique n'a rien à voir avec la géométrie ou avec les mathématiques en général.
Par contre ta dernière remarque est très intéressante et avec un logiciel de géométrie qui possède l'outil intersection (d'une conique et d'un cercle), tu peux construire effectivement les foyers de ta conique.
Seulement tu vas faire hurler les sectateurs de la règle et du compas qui vont te reprocher de ne pas avoir utilisé leurs instruments sacrés, alors que Michel Coste t'a montré dans son article qu'on pouvait le faire!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Bonjour
Je ne me souviens plus de la macro de Poulbot construisant la paire de points isogonaux $(F,F')$ dont on connait le milieu $O$, sans doute une construction basée sur des propriétés affine et euclidienne.
Voici ma propre idée basée sur la défunte géométrie circulaire!
J'ai élagué un peu ma figure pour y voir plus clair
On en est au stade où on vient de tracer le triangle des contacts $I_AI_BI_C$ suivant la méthode exposée dans le Lebossé-Hémery de Seconde dans son chapitre consacré aux divisions et autres faisceaux harmoniques. C'est bien de la géométrie projective sans le dire.
Soit $U$ l'image de $I_A$ dans la transposition circulaire de points fixes $B$ et $C$.
Soit $V$ l'image de $I_B$ dans la transposition circulaire de points fixes $C$ et $A$.
Soit $W$ l'image de $I_C$ dans la transposition circulaire de points fixes $A$ et $B$.
Alors la transformation circulaire directe $I_AI_BI_C\mapsto UVW$ est une transposition circulaire de points fixes $F$ et $F'$.
Or construire les points fixes d'une transposition circulaire donnée par les images de deux points distincts était l'un des passe-temps favoris des géomètres d'autrefois.
On voit donc que l'exercice proposé par Jelobreuil fait intervenir toutes les géométries connues ou inconnues de notre monde sublunaire: la projective, l'affine, l'euclidienne et la circulaire.
Aujourd'hui nous n'avons plus que nos yeux pour pleurer autour des axiomes de Thalès et de Pythagore et nous pouvons oublier cette belle configuration devenue obsolète.
Amicalement
[small]p[/small]appus -
GeoGebra possède un outil qui permet d'intersecter deux coniques (en particulier un cercle et une conique). Mais ça sort bien entendu des constructions usuelles, à la règle et au compas.
Si tu es content avec, fort bien. Mais il serait bon que tu réalises exactement dans quel cadre tu travailles. -
Bonjour
Autrefois, le taupin était face à sa feuille blanche fixée sur sa table à dessin sur laquelle étaient tracés les points $A$, $B$, $C$ et le centre $O$ Avec son compas, sa règle et son tire-ligne, il devait construire les foyers $F$ et $F'$ de la conique de centre $O$ passant par les points $A$, $B$, $C$ et pas autre chose, surtout pas la conique elle même!
J'ai décomposé chaque étape de ma construction pour qu'elle puisse se faire à la règle et au compas
En fait tout ce qu'apporte l'ordinateur, c'est le tracé de la conique, ce qui rend la construction plus valorisante mais on en a pas vraiment besoin!
Amicalement
[small]p[/small]ppus -
Bonsoir GaBuZoMeu, Bonsoir Pappus, bonsoir à tous
GaBuZoMeu : petite précision, quand je fais de la géométrie, je ne "travaille" pas, je m'amuse ou je passe le temps, comme tu voudras, avec la seule ambition de redécouvrir ou d'apprendre des choses que j'ai sues et oubliées, ou que je n'avais jamais vues ou réalisées ...
J'ai regardé l'article de Michel Coste que tu m'as envoyé, malheureusement, je crains bien n'avoir ni le niveau ni les bases nécessaires pour en tirer grand profit. Mais je le reprendrai, à l'occasion ...
Je sais pertinemment que Geogebra se moque bien de la règle et du compas : dis-moi, comment arrive-t-il à construire des polygones réguliers dotés d'un nombre quelconque de côtés ? N'y aurait-il pas là-dessous (je viens tout juste de remarquer que le nom "Geogebra" y fait bigrement penser ...) un simple logiciel de calcul de coordonnées de points fonctionnant par récurrence et utilisant une valeur très précise de l'angle de deux côtés adjacents ?
Tout ceci pour dire que je n'éprouve ni gène ni honte à utiliser Geogebra dans la modeste mesure de mes moyens, car je suis loin de me servir de toutes les potentialités offertes par ce logiciel !
Pappus : Merci de toutes ces indications, je vais essayer de relire tout ça soigneusement, mais je crains de manquer de connaissances de base ...
En tout cas, j'ai suivi, avec Geogebra, le procédé que je proposai dans mon précédent message, et voici ce que cela donne, en commençant par le début:
On se donne trois points non alignés A, B et C, et un quatrième, O, qui ne s'aligne avec aucune des trois paires possibles de points précédents, puis on construit les symétriques A', B' et C' de ces points par rapport à O, et l'on trace (merci Geogebra) la conique passant par ces six points, qui a donc pour centre le point O. Puis, que cette conique soit une ellipse ou une hyperbole, on trace un premier cercle de centre O qui coupe la conique en quatre points. Le point O étant le centre de symétrie de toute la figure, ces quatre points d'intersection cercle/conique sont les quatre sommets d'un rectangle (non représenté sur mes figures). On trace la médiatrice commune des petits côtés de ce rectangle, passant par leurs milieux M et M', médiatrice qui porte le grand axe de la conique et coupe celle-ci en ses deux sommets S et S'. On peut alors tracer le cercle principal de la conique, ainsi qu'une tangente à la conique en l'un quelconque de ses points, laquelle tangente coupe le cercle principal en deux points N et N', et l'on mène par ces deux points des perpendiculaires à ladite tangente, qui coupent le segment SS' en deux points qui sont les foyers F et F' de la conique.
On peut vérifier, toujours avec Geogebra, que la bissectrice de l'angle de deux rayons vecteurs est bien la tangente au point considéré dans le cas de l'hyperbole, et la normale au point considéré, dans le cas de l'ellipse.
Je trouve ceci assez efficace, même si ce n'est pas "dans les règles de l'art", mais comme je ne prétends pas être à même de m'y conformer en toute rigueur, je m'en contente !
Bien cordialement
-
Comme tu le dis, Pappus, "autrefois ..."
Mais le taupin d'autrefois, dans la suite de sa carrière professionnelle, a-t-il jamais eu besoin de reproduire cette construction ?
Je m'arrête là, bien conscient de relancer, avec cette question, un débat interminable et pour le moins assez houleux ...
Bien cordialement
JLB -
Mon cher Jelobreuil
Exécuter cette construction des foyers est donc un petit voyage au coeur des géométries projective, affine, euclidienne et circulaire telles qu'elles étaient enseignées autrefois. C'est ce voyage à la recherche du temps perdu qui est passionnant plus que les diverses constructions qu'il entraîne!
Pour le moment, je suis très très loin de mes bases mais si j'arrive à rentrer chez moi, je reviendrais sur les différentes étapes dont j'ai parlé pour les détailler!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Bonjour
La construction des axes faite plus haut (ICI) est bien sur valable pour toute conique de centre $O$ en prenant n'importe quel cercle passant par $O$.
Supposant $Oa,Oa^{\prime },Ob,Ob^{\prime }$ respectivement parallèles à $BC,BC^{\prime },CA,CA^{\prime }$, $\left( Oa,Oa^{\prime }\right) $ et $\left( Ob,Ob^{\prime }\right) $ sont deux paires de diamètres conjugués de la conique.
Il s'agit alors de la construction plus que classique (bien que défunte, comme dirait Pappus) de la paire de droites perpendiculaires homologues dans une involution sur le faisceau de droites passant par $O$ connaissant deux paires de droites homologues dans cette involution.
Cette involution induit sur le cercle de centre de centre $\Omega $ passant par $O$ une involution de point de Frégier $f=aa^{\prime }\cap bb^{\prime }$ et chacune des deux droites perpendiculaires cherchées passe par une extrémité du diamètre du cercle porté par la droite $\Omega f$.
En l'occurrence, le point $f$ est intérieur au cercle si et seulement si la conique est une ellipse.
Amicalement. Poulbot -
Merci Poulbot
Les axes une fois construits, il fallait chercher leurs intersections avec la conique, ce qui n’était pas une mince affaire: intersection d’une droite avec une conique définie par cinq points, encore une construction projective autrefois fort connue. Aujourd’hui il suffit d’utiliser l’outil intersection du logiciel.
Pédagogiquement si on veut simuler une construction à la règle et au compas, on peut utiliser tout outil du logiciel dont on sait qu’il réalise une construction licite c’est-à-dire susceptible d’être effectuée à la règle et au compas: par exemple on peut utiliser l’outil intersection pour tracer les points d’intersection d’une conique et d’une droite mais pas pour tracer l’intersection de deux coniques.
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Bonjour
A propos des axes de la conique de centre $\Omega $ inscrite dans $ABC$ : montrez qu'ils sont parallèles aux asymptotes de l'hyperbole équilatère passant par $\Omega $ et les centres du cercle inscrit et des cercles exinscrits dans $ABC$.
Finalement, j'ai ouvert à ce sujet le fil Axes d'une conique inscrite
Amicalement. Poulbot -
J'ai vainement cherché, dans le cas elliptique,
une solution via une affinité. Quelqu'un a une idée ? -
Mon cher Soland
Les axes de tes affinités sont les axes construits par Poulbot. Quant aux rapports d'affinités $\frac ba$ ou $\frac ab$, la meilleure façon de les obtenir est encore de calculer $a$ et $b$ c'est à dire de tracer les intersections des axes avec la conique.
Si on dispose d'un logiciel qui sait tracer la conique passant par cinq points et qui dispose de l'outil intersection, il n'y a pas de problèmes.
On trace la conique puis les axes grâce à Poulbot puis les intersections des axes avec la conique.
Si cette conique est une ellipse ce qu'à Dieu ne plaise, on a donc ses sommets et via l'axiome de Pythagore, on récupère ses foyers.
Fastoche pour nous mais pas pour le jeune taupin que j'ai été.
Je savais que je n'avais pas besoin de tracer la conique même si je savais la tracer point par point. Mais j'avais un besoin impérieux de savoir si c'était une ellipse ou une hyperbole ou quoique ce soit d'autre encore.
Les données sont les points $A$, $B$, $C$ et le centre $O$ qui sert de paramètre.
Il s'agit maintenant de trouver les régions du plan dans lesquelles la conique est une ellipse ou une hyperbole.
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Je conseille le livre de Bruno Ingrao à tout étudiant qui veut apprendre la théorie des coniques. -
Bonsoir
La figure de Poulbot est capitale et on la trouve certainement dans les vieux livres de géométrie de Taupe comme le Commissaire et Cagnac et peut-être même dans des ouvrages plus récents comme la Bible du Bon Berger, il faudra que je vérifie car je suis encore loin de ma yourte!
Un petit reproche amical à Poulbot, sa figure n'explique pas clairement la provenance des paires de points en involution $(a,a')$ et $(b,b')$ sur le cercle (auxiliaire) $\gamma$ à moins que mes yeux doublement cataractérisés ne m'aient trompé.
Alors je refais sa figure avec les mêmes notations mais je ne garantis pas avoir gardé les mêmes correspondances.
L'idée de sa figure est que les diamètres conjugués d'une conique à centres forment des faisceaux en involution.
Qui dit diamètre parle de la théorie affine des coniques et qui dit involution parle de géométrie projective.
Eh oui, il faut aller jusque là pour comprendre la figure de Poulbot sinon ce n'est pas la peine de continuer.
Celui qui espère retrouver les foyers d'une conique définie par trois éléments projectifs, à savoir les points $A$, $B$, $C$ et un élément affine à savoir son centre $O$, à partir du cours d'Hadamard ou celui du Lebossé-Hémery et c'est déjà pas mal comme connaissances, s'expose à de terribles désillusions.
Il faut en savoir plus, par exemple dans le cours de Bruno Ingrao.
Ensuite les axes d'une conique à centre sont des diamètres conjugués orthogonaux, c'est l'astuce qui permettra de les tracer.
On trace donc un cercle auxiliaire $\gamma$ de centre arbitraire $\Omega$ passant par le centre $O$.
A tout diamètre passant par $O$, on associe son intersection avec le cercle $\gamma$.
Deux diamètres conjugués vont donc donner sur le cercle $\gamma$ une paire $(m,m')$ de points en involution.
Eh oui, l'involution des diamètres conjugués se propage sur le cercle en une involution de points, c'est quand même beau la défunte géométrie.
Et une involution de points sur une conique et donc sur un cercle admet un point de Frégier $f$ par lequel passent toutes les droites $mm'$.
Et la messe est pratiquement dite.
Pour obtenir la paire $(a,a')$, j'ai choisi la paire de diamètres conjugués formée d'une part par la parallèle à $BC$ issue de $O$ et d'autre part par la droite $O\alpha$ où $\alpha$ est le milieu de $BC$.
Pour obtenir la paire $(b,b')$, j'ai choisi la paire de diamètres conjugués formée d'une part par la parallèle à $CA$ issue de $O$ et d'autre part par la droite $O\beta$ où $\beta$ est le milieu de $CA$.
Enfin $f=aa'\cap bb'$ et $(p,p')=\Omega f\cap \gamma$.
J'ai suggéré avec le logiciel les intersections des axes rouges avec l'ellipse à partir desquelles on obtient facilement les foyers via l"axiome de Pythagore.
Mais le taupin que j'étais n'en avait pas fini avec sa règle et son compas car il lui fallait tracer les intersections de ces axes avec une conique définie seulement par cinq points!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Bonne Nuit
Pour vous donner une idée de la complexité de la construction demandée par Jelobreuil, la figure ci-dessous montre sans commentaires la construction à la règle et au compas de l'intersection d'une droite $L$ avec une conique définie par cinq points $A$, $B$, $U$, $V$, $W$.
Et il fallait faire cette construction deux fois, eh oui les deux axes rouges.
Je suis loin de mes bases et pourtant j'ai pu la tracer, non que je la sache par coeur mais je connais mon cours sur les coniques tout simplement!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Bonsoir Pappus
"Un petit reproche amical à Poulbot, sa figure n'explique pas clairement la provenance des paires de points en involution $\left( a,a^{\prime }\right) $ et $\left( b,b^{\prime }\right) $ sur le cercle (auxiliaire) $\gamma $ à moins que mes yeux doublement cataractérisés ne m'aient trompé."
Tu as bien vu : je ne voulais pas surcharger la figure mais j'ai tout de même précisé que $Oa,Oa^{\prime },Ob,Ob^{\prime }$ étaient respectivement parallèles à $BC,BC^{\prime },CA,CA^{\prime }$ (ou, si on préfère,$Oa,Oa^{\prime },Ob,Ob^{\prime }$ passent respectivement par les milieux de $\left[ BC^{\prime }\right] ,\left[ BC\right] ,\left[ CA^{\prime }\right] ,\left[ CA\right] $).
Amicalement. Poulbot -
Excuse moi Poulbot
J'ai été capable de lire ta figure mais pas le texte qui l'accompagnait.
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Bonsoir à tous,
un grand MERCI à Pappus et Poulbot pour toutes ces explications et ces figures ! J'espère bien que d'autres que moi, plus au fait de la théorie des coniques, pourront en faire leur miel, car je ne veux pas que tout cela choie dans un oubli complet ...
Je répondrai plus tard à la question de Pappus sur les zones du plan dans lesquelles le point O doit se trouver par rapport à ABC pour que la conique soit une ellipse ou une hyperbole : je les ai repérées avec Geogebra, mais je veux prendre le temps de faire une jolie figure !
Pour prolonger ce fil, je pose la question suivante : puisqu'en partant d'un triangle et d'un point, on peut définir, à l'aide des symétriques des sommets par rapport audit point, une conique dont ce point est le centre, quelqu'un avant moi a sûrement eu l'idée d'étudier les coniques associées aux divers centres du triangle, j'imagine ? La première qui me vient à l'esprit, c'est bien sûr le cercle circonscrit, conique associée à son propre centre ... Et ce qui m'a poussé à initier ce fil, c'est qu'ayant ainsi construit l'ellipse associée au centre du cercle dit "des neuf points", ainsi que l'hyperbole associée à l'orthocentre, je me suis demandé si leurs foyers avaient d'autres propriétés ou se trouvaient sur des courbes caractéristiques ... J'aimerais bien connaître le résultat des éventuelles études sur ce sujet ...
Bien cordialement
JLB -
Mon cher Jelobreuil
Les questions les plus naturelles sont de chercher le lieu des centres des hyperboles équilatères circonscrites ainsi que l’enveloppe de leurs asymptotes. Elles ont été résolues depuis longtemps et ont fait la joie de générations de spécialistes de la géométrie du triangle.
Cela peut se faire en grande partie synthétiquement.
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Merci, cher Pappus, de ta réponse !
Je me doutais bien que j'étais loin de m'aventurer en terra incognita !
Pour répondre à ta question sur la nature de la conique en fonction de la zone du plan où se trouve son centre, j'ai constaté que les limites de ces zones sont les trois droites passant chacune par les milieux de deux des côtés du triangle ABC, lesquelles définissent sept zones du plan : le triangle médial de ABC, 3 zones délimitées par deux seulement de ces trois droites, et 3 zones délimitées par les trois droites ensemble. On a une ellipse quand le centre de la conique se trouve à l'intérieur du triangle médial ou dans l'une des trois premières zones, et une hyperbole quand il se trouve dans l'une des trois autres zones. Quand le point pris pour centre de la conique se trouve juste sur l'une des trois droites, la conique est dégénérée en deux droites parallèles.
Je serais, bien entendu, bien incapable de démontrer ce résultat ...
Bien amicalement
JLB -
Merci Jelobreuil
Bravo, ce que tu dis est exact et pas très difficile à démontrer.
Les ingrédients?
1° Les coordonnées barycentriques homogènes c'est à dire faire de la géométrie projective sans le dire comme Monsieur Jourdain faisait de la prose sans le savoir
2° La théorie affine des coniques: grosso modo les courbes du second degré., un petit pas pour l'homme, un grand pas pour l'humanité après les courbes du premier degré mais un palier trop dur à franchir pour la rue de Grenelle: trop difficile, pas le temps, pas de fric, impossible de former les formateurs, etc,...Bref l'égalité de tous dans l'Ignorance.
On connait la chanson depuis des décennies!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Bonjour,pappus a écrit:Je ne me souviens plus de la macro de Poulbot construisant la paire de points isogonaux $(F,F')$ dont on connait le milieu $O$, sans doute une construction basée sur des propriétés affine et euclidienne.
Peut-être s'agit-il de celle ci:
- $T$ est l'isogonal de $O$ par rapport au triangle $I_aI_bI_c$.
- La droite $(I_aT)$ recoupe le cercle $I_aBC$ en $I'_a$.
- La médiatrice de $[I_aI'_a]$ recoupe la perpendiculaire à la bissectrice de $(\vec{OI_a},\vec{OI'_a})$ en $\Omega$.
- Le cercle de centre $\Omega$ passant par $I_a$ recoupe la bissectrice précédente en $F$ et $F'$ foyers de la conique. -
Merci Lake
De retour dans ma yourte après des heures de télègue à affronter la colère des moujiks au milieu des seuls cercles qui restent encore dans notre culture avec le cercle trigonométrique, à savoir les ronds-points autoroutiers.
Mais enfin les yacks tutélaires sont là mais pas ta construction de Poulbot que j'ai cherchée en vain. Peut-être se trouvait-elle sur mon ancienne bécane qui a rendu l'âme, il y a bien des années.
Je pensais à quelque chose de plus simple dans mes souvenirs.
En tout cas, il est clair qu'il faut remuer beaucoup de géométrie du triangle avant d'arriver au résultat.
Je reviendrai sur ma propre construction de ces points isogonaux de milieu donné en son temps.
Les deux principales constructions de la théorie des coniques: intersection d'une droite et d'une conique et tangentes issues d'un point à une conique sont données dans le Lebossé-Hémery ou le Hadamard quand la conique est définie de façon euclidienne par ses foyers et sont réalisables avec la règle et le compas.
Même si ce n'est pas apparent, ces constructions élémentaires s'inscrivent parfaitement dans les méthodes homographiques ou involutives décrites par exemple dans le livre de Bruno.
En ce qui concerne la construction des foyers d'une conique définie par trois points et son centre amorcée par Poulbot, elle ne marche que si la conique est une ellipse et c'est pourquoi il était important de caractériser les points $O$ dans le plan du triangle $ABC$ pour lesquels la conique était une ellipse.
Jelobreuil a découvert que le triangle médial intervenait dans ce régionnement et il serait bon d'en avoir la démonstration.
Il serait bon aussi de donner une construction des foyers dans le cas où la conique est une hyperbole.
L'idée est de construire les asymptotes comme rayons doubles de l'involution des diamètres conjugués.
Il faut donc utiliser la figure de Poulbot dans le cas où le point de Frégier est extérieur au cercle auxiliaire.
Une fois les asymptotes construites, on est ramené à construire les foyers d'une hyperbole connaissant ses asymptotes et un point.
Cette construction devrait figurer dans le Lebossé-Hémery.
J'ai dit dans un message précédent qu'on pouvait utiliser tout outil de son logiciel effectuant une construction réalisable à la règle et au compas. C'est le cas pour les asymptotes avec Cabri.
Vous avez sur votre écran une hyperbole et son centre. Cabri vous permet de tracer en un clic ses asymptotes en utilisant l'outil tangentes issues d'un point à une conique. Il suffit de l'appliquer au centre de la conique.
Vérifiez, c'est assez surprenant!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Bonjour
Je pense avoir retrouvé la construction de Poulbot des points isogonaux de milieu donné.
Comme il me semblait, elle est plus pédestre que celle retrouvée par Lake et que je ne connaissais pas.
Elle est tout aussi efficace et plus directe avec quand même sur la fin un peu de géométrie contemplative pour distinguer l'axe focal parmi les deux diamètres conjugués orthogonaux construits.
La construction de Poulbot retrouvée par Lake est beaucoup plus jolie et compliquée et nécessite un plus gros investissement en géométrie du triangle.
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Bonjour
Ce petit problème de construction proposé par Jelobreuil est très intéressant en lui même par la diversité des solutions qui peuvent lui être apportées mais aussi par les réflexions qu'il suggère sur la disparition de l'enseignement de la géométrie dans notre République Analphabète!
Nous n'avons pas encore épuisé la solution de Poulbot, un peu pédestre, parce qu'elle doit distinguer les ellipses des hyperboles.
Je voudrais maintenant donner quelques justifications de ma propre construction, certes plus esthétique mais aussi beaucoup plus compliquée et demandant un investissement plus sérieux dans toutes les géométries projective, affine, euclidienne, circulaire.
J'ai proposé le livre de Bruno Ingrao: Coniques publié chez C&M en ce qui concerne la théorie des coniques.
Pour la Géométrie, je ne peux que conseiller celui de Jean-Denis Eiden: géométrie analytique classique toujours publié chez C&M où on apprendra en particulier à manipuler les coordonnées barycentriques.
Comment se présente l'équation barycentrique homogène d'une conique circonscrite $\Gamma$ au triangle $ABC$ quand on prend le triangle $ABC$ pour triangle de référence?
Elle se présente sous une forme quadratique en $(x,y,z)$ qui doit s'annuler sur les vecteurs $(1,0,0)$, $(0,1,0)$, $(0,0,1)$.
On a donc pas tellement le choix:
$$q(x,y,z)=\alpha yz+\beta zx+\gamma xy=0$$
On est déjà face à un premier problème absolument épouvantable:
Comment obtenir les équations des tangentes à $\Gamma$ aux points $A$, $B$, $C$?
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Bonsoir pappus,
Pour le point $A$, on cherche une droite d'équation barycentrique $ay+bz=0$ qui intersecte $\Gamma$ au seul point $A$. Après résolution d'un petit système, je trouve que cela n'est possible que si $a\beta-b\gamma=0$.
Donc l'équation de la tangente au point $A$ est $\gamma y+\beta z=0$. -
Merci Gai Requin
Un peu de géométrie te fait du bien.
Peux-tu en déduire ce que j'ai dit sur le fait que le triangle des contacts c'est à dire le triangle des tangentes était en perspective avec le triangle de référence $ABC$?
Quel est le centre de perspective ou perspecteur et quel est l'axe de perspective?
On parle aussi de centre et d'axe d'homologie.
En plus pour te faire plaisir, il y a un groupe fini sous-jacent!
Ce sera le super-pied!!
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
On vient de décrire les propriétés projectives de cette configuration, la prochaine étape sera de décrire ses propriétés affines! -
Les calculs sont rébarbatifs mais le rendu géométrique vaut le détour !
-
Bonjour
Gai requin aurait pu ajouter à sa figure les côtés du triangle cévien de $O$ (par rapport à $ABC$).
$M$ étant un point variable de $\Gamma $, quelles sont les enveloppes des côtés de son triangle cévien (par rapport à $ABC$)?
Amicalement. Poulbot -
Bonsoir poulbot,
J'aurais pu ajouter à ma figure ce que tu dis mais je ne peux point. :-)
Heureusement qu'on a inventé le conditionnel ! -
Merci Gai Requin et Poulbot
@Gai Requin
Tu dis que les calculs sont rébarbatifs. Je ne peux pas te laisser dire cela.
Ce sont des calculs d'algèbre linéaire qui sont ce qu'ils sont.
Il faut seulement avoir le courage de les faire.
Tu en as fait les trois quarts, fais le dernier quart et tu verras apparaître le groupe fini dont je t'ai parlé!
@Poulbot
Ta question est très judicieuse et cadre parfaitement avec les préoccupations du taupin que j'étais il y a 70 ans, à savoir comment tracer la conique $\Gamma$ point par point!
Je reviendrai sur ta figure un peu plus tard pour ne pas trop surcharger la mienne ci dessous.
Si on oublie provisoirement la conique $\Gamma$, le reste de la figure avec son déluge de divisions et de faisceaux harmoniques, était parfaitement compréhensible par le lycéen de Seconde d'autrefois et j'ai d'ailleurs tracé en bleu la construction qu'il aurait fait pour récupérer cette configuration à partir des données $A$, $B$, $C$, $P$.
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Bonsoir pappus,
J'essaie de comprendre ta dernière figure :
1) $A'B'C'$ doit être le triangle cévien de $P$ par rapport à $ABC$ (chouette, j'ai appris un truc).
2) $C''=AB\cap A'B'$, $B''=AC\cap A'C'$ et $A''=BC\cap B'C'$ ce coupent sur l'axe de l'homologie dont on a parlé hier.
3) Donc $P_AP_B=CC''$, $P_AP_C=BB''$ et $P_BP_C=AA''$.
Ma conclusion : si on connaît $A,B,C,P$, on peut tracer les tangentes à $\Gamma$ en $A,B,C$ sans jamais utiliser $\Gamma$ ! -
Merci Gai Requin
C'est exact! Le lycéen de Seconde d'autrefois traçait la figure sans avoir le début du commencement de l'idée de conique.
Aujourd'hui les choses ont beaucoup changé!
Non seulement on ne sait pas tracer cette figure mais de plus on ne sait pas ce qu'est une conique!
On se demande comment Kepler aurait fait pour trouver les lois des mouvements planétaires avec nos programmes actuels.
Je vais terminer les calculs de Gai Requin.
Il nous a écrit l'équation de la tangente $T_A$ en $A$ à la conique circonscrite $\Gamma$:
$$T_A:\gamma y+\beta z=0$$
Par permutation circulaire, on a les équations des deux autres tangentes:
$$T_B:\alpha z+\gamma x=0$$
$$T_C:\beta x+\alpha y=0$$
Un calcul linéaire absolument épouvantable donne les coordonnées des points d'intersection des tangentes:
$$P_A=T_B\cap T_C=(-\alpha:\beta:\gamma)$$
$$P_B=T_C\cap T_A=(\alpha:-\beta:\gamma)$$
$$P_C=T_A\cap T_B=(\alpha:\beta:-\gamma)$$
Un autre calcul atroce montre que les triangles $ABC$ et $P_AP_BP_C$ sont en perspective, le centre de perspective étant $P(\alpha:\beta:\gamma)$
Maintenant où est le groupe dont je parlais?
On voit donc qu'une conique circonscrite $\Gamma$ au triangle $ABC$ est entièrement déterminée par la donnée de son perspecteur $P$, le tout est de la tracer.
Sur ma bécane, j'ai une macro qui s'en charge, je clique sur une icone et chtoc, la conique $\Gamma$ surgit sur l'écran!
Mais comment faisait-on autrefois pour la tracer?
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Bonne Nuit
Voici la figure (projective) de Poulbot dans toute sa splendeur!
J'ai tracé le triangle cévien $UVW$ du point $M\in \Gamma$ et je vous laisse constater les incidences qu'il faut montrer!.
C'est cette configuration qui permet de tracer autant de points qu'on veut de cette conique circonscrite et donc de la tracer tout court sur l'écran et en fait $5=3+2$ points suffisent.
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Bonjour
Avec les notations de Pappus, on a $A^{\prime \prime }=BC\cap P_{B}P_{C}=\left( 0:\beta :-\gamma \right) =BC\cap B^{\prime }C^{\prime },...$.
L'axe de perspective des triangles $ABC$ et $P_{A}P_{B}P_{C}$ qui est la droite passant par $A^{\prime \prime },B^{\prime \prime },C^{\prime \prime }$ a donc pour équation $\dfrac{x}{\alpha }+\dfrac{y}{\beta }+\dfrac{z}{\gamma }=0$; c'est aussi l'axe de perspective de $ABC$ et du triangle cévien $A^{\prime }B^{\prime }C^{\prime }$ de $P$ (polaire trilinéaire de $P$) et la polaire de $P$ par rapport à $\Gamma $.
Si $M=\left( x:y:z\right) \in \Gamma $, les sommets de son triangle cévien sont $U=\left( 0:y:z\right) ,V=\left( x:0:z\right) ,W=\left( x:y:0\right) $ et $V,W,P_{A}$ sont alignés puisque $\begin{vmatrix}x&x&-\alpha \\0&y&\beta \\z&0&\gamma \end{vmatrix}=\alpha yz+\beta zx+\gamma xy=0$.
De même $W,U,P_{B}$ sont alignés ainsi que $U,V,P_{C}$.
L'alignement de $V,W,P_{A}$ résulte aussi du théorème de Pascal appliqué à "l'hexagone" $ABCMCB$.
Amicalement. Poulbot -
Merci Poulbot
Les constructions demandées par Jelobreuil commencent seulement à prendre forme.
On vient d'achever l'étape projective, la plus incompréhensible puisque défunte mais la plus simple puisqu'elle n'exige en principe que l'utilisation de la règle.
Ne plus pouvoir se servir de sa règle, c'est un peu fort de café mais c'est la réalité aujourd'hui dans notre République Analphabète.
On passe maintenant à l'étape affine, elle aussi délicate puisque chez nous la géométrie affine se résume en gros à l'axiome de Thalès.
Il s'agit de décrire le lien existant entre le perspecteur $P$ de définition projective et le centre $O$ de la conique circonscrite $\Gamma$ de définition affine.
Là aussi, quelques calculs sont nécessaires, peut-être un peu plus compliqués que les précédents, l'avenir nous le dira!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Bonjour
Pour trouver ce lien entre perspecteur et centre, il faut évidemment en connaître un minimum minimorum sur la théorie affine des coniques qui ne se limite pas à la sempiternelle classification.
Les notions de centre et de diamètre sont au coeur de la théorie.
Voici une configuration montrant les liens entre centre et diamètre.
On a sous les yeux une conique affine $\Gamma$ de centre $O$.
D'un point $T$ on mène les tangentes $TA$ et $TB$ à $\Gamma$.
Soit $M$ le milieu de $AB$, alors la droite $TM$ est un diamètre, autrement dit elle passe par le centre $O$ de $\Gamma$.
On se doute bien que cette propriété est inconnue aujourd'hui. Je ne suis même pas sûr qu'on la sache pour le cercle!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Bonjour pappus,
Je n'ai toujours pas trouvé le groupe dont tu parlais.
Mais je trouve assez stupéfiant la correspondance $\Gamma\leftrightarrow P$. -
Mon cher Gai Requin
Il semblait me rappeler que tu avais fait des progrès stupéfiants en géométrie projective!
La figure que tu as sous les yeux quand on a effacé la conique circonscrite $\Gamma$, c'est le pont aux ânes de la géométrie projective. C'est un peu comme l'axiome de Thalès pour la géométrie affine ou l'axiome de Pythagore pour la géométrie euclidienne.
Regarde l'application: $\{f_A:P\longmapsto P_A; (x:y:z)\mapsto (-x:y:z)\}$
C'est une transformation projective involutive de pôle $A$ et d'axe $BC$. Plus précisément c'est une homologie harmonique: $(A,A',P,P_A)=-1$.
On a de même les homologies harmoniques: $\{f_B:P\longmapsto P_B; (x:y:z)\mapsto (x:-y:z)\}$ et $\{f_C:P\longmapsto P_C; (x:y:z)\mapsto (x:y:-z)\}$
Quel est le sous-groupe du groupe projectif engendré par les $f_A\ $, $f_B$, $f_C$ et quelle est sa structure?
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Bonjour
C'est plus ou moins la même figure que précédemment mais par paresse, j'ai changé quelques notations pour ne pas en imaginer de nouvelles.
Par exemple, $A'B'C'$ désigne le triangle médial de $ABC$, $A''$ est le centre du parallélogramme $A'B'AC'$ et $A'''=AP\cap BC$.
Je vais m'efforcer de garder le style de nos aïeux, amoureux de la géométrie du triangle et de la théorie des coniques.
D'après ce que je viens de dire sur la théorie affine des coniques, les droites $P_AA'$, $P_BB'$, $P_CC'$ sont concourantes au centre $O$ de la conique circonscrite $\Gamma$.
On a une division harmonique: $(A,A''',P,P_A)=-1$ et donc un faisceau harmonique: $(A'A,A'A''',AP,AP_A)=-1$ qu'on coupe par la droite des milieux $B'C'\parallel AA'''$ avec en particulier $\omega=A'O\cap B'C'$ et $\varpi=A'P\cap B'C'$.
Le lycéen de Seconde d'autrefois en déduisait finement que $A'$ était le milieu du segment $\omega\varpi$ et par suite que les points $O$ et $P$ étaient isotomiques dans le triangle $A'B'C'$.
On voit maintenant un peu plus clairement le début de la construction de Jélobreuil.
Les points $A$, $B$, $C$, $O$ étant donnés, on construit dans un premier temps par isotomie, (construction affine), le perspecteur $P$ puis le triangle anticévien de $P$, $P_AP_BP_C$, (construction projective).
On en est là pour le moment.
Maintenant on utilise enfin la géométrie euclidienne.
Les foyers $F$ et $F'$ sont des points isogonaux (théorème de Poncelet) dans le triangle des contacts $P_AP_BP_C$ et de milieu connu, à savoir le centre $O$ de $\Gamma$.
Pour cela, on dispose de deux constructions de Poulbot, l'une un peu pédestre, déterrée par mes soins, l'autre beaucoup plus esthétique retrouvée par Lake.
On a enfin la construction via la géométrie circulaire que j'ai proposée!
On a donc encore pas mal de grains à moudre!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Merci pappus pour ce petit cours et cette figure harmonique.
Edit : Donc le groupe cherché est $\{\mathrm{Id},f_A,f_B,f_C\}$ qui est isomorphe à $(\mathbb Z/2\mathbb Z)^2$, via $f_A\mapsto (1,0)$, $f_B\mapsto (0,1)$ et $f_C\mapsto (1,1)$.
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