La surface réglée est-elle développable ?
Bonjour,
Deux demi-plans (P1) et (P2) forment un dièdre d'angle 30°, (d) leur droite d'intersection.
Un cercle (C1) dans (P1) de rayon r1 et de centre O1 qui est à distance d de (d)
O1 se projette orthogonalement sur (d) en H1.
De même un cercle (C2) dans (P2) de rayon r2 et de centre O2 qui est à distance d de (d)
O2 se projette orthogonalement sur (d) en H2.
H1 et H2 sont séparés par une petite distance e sur (d), et r1 > r2.
D'un point M de (d) on mène les tangentes en A1 et B1 à (C1) et les tangentes en A2 et B2 à (C2) .
On considère les plans MA1A2 et MB1B2 dont les segments A1A2 et B1B2 forment, quand M décrit (d), une surface enveloppant un solide limité par les cercles (C1) et (C2)
Question 1 : Cette surface réglée est-elle développable ?
Je n'ai pas une culture mathématique suffisante pour le savoir ou le vérifier.
Question 2 : Si OUI à la question 1, comment approcher le dessin d'un patron de cette surface.
Espérant que ce problème est suffisamment bien posé, Merci par avance pour vos réponses.
Deux demi-plans (P1) et (P2) forment un dièdre d'angle 30°, (d) leur droite d'intersection.
Un cercle (C1) dans (P1) de rayon r1 et de centre O1 qui est à distance d de (d)
O1 se projette orthogonalement sur (d) en H1.
De même un cercle (C2) dans (P2) de rayon r2 et de centre O2 qui est à distance d de (d)
O2 se projette orthogonalement sur (d) en H2.
H1 et H2 sont séparés par une petite distance e sur (d), et r1 > r2.
D'un point M de (d) on mène les tangentes en A1 et B1 à (C1) et les tangentes en A2 et B2 à (C2) .
On considère les plans MA1A2 et MB1B2 dont les segments A1A2 et B1B2 forment, quand M décrit (d), une surface enveloppant un solide limité par les cercles (C1) et (C2)
Question 1 : Cette surface réglée est-elle développable ?
Je n'ai pas une culture mathématique suffisante pour le savoir ou le vérifier.
Question 2 : Si OUI à la question 1, comment approcher le dessin d'un patron de cette surface.
Espérant que ce problème est suffisamment bien posé, Merci par avance pour vos réponses.
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Réponses
J’essaye de comprendre !
D’une part, le point $A_1$ est la projection orthogonale du point $O_1$ centre du cercle $(C_1)$ sur la droite $(d)$, d’autre part d’un point $M$ de $(d)$, on mène les tangentes en $A_1$ et $B_1$ au cercle $(C_1)$, ce qui suggère fortement que les points $A_1$ et $B_1$ sont sur $(C_1)$.
Où se trouve le point $A_1$?
Faudrait savoir!
Une figure serait là bienvenue.
Amicalement
[small]p[/small]appus
Veuillez excuser mon erreur des notations initiales que j'ai modifiées en rouge.
Je prépare une figure si nécessaire
c'est comme un tronc de cône, un cône coupé par deux plans non parallèles,
sauf que les cercles (C1) et C2) ne peuvent être sur un cône.
Je pense que la réponse à la question 1 est oui car les plans tangents aux deux cercles sont tangents à la surface latérale du solide formé (pseudo tronc de cône) tout le long des arêtes latérales A1A2 et B1B2.
Si vraiment oui, c'est la réponse à la question 2 qui m'intéresse vraiment.
Est-ce que $d>r_1>r_2$ (où $d$ est la distance à $(d)$) ?
Oui,, je pensais que l'on ne confondrait pas d distance et (d) droite...
Ce problème vient de la trajectoire sur un plan de deux roues de rayons un peu différents et montées de guingois sur un essieu pas droit...
Cet assemblage roule cependant sans glisser sur un plan mais avec une trajectoire courbe pour les points de contact de chaque roue que je pense former le "patron" de la surface latérale qui s'appuierait sur les deux roues.
C'est le "roule sans glisser" dont je ne suis pas certain. Et ensuite la détermination de ce patron.
Merci aussi pour les explications physiques qui t'ont conduit à la tracer.
Il y a maintenant quelque chose que je ne m'explique pas: on a deux paires de points de contact: $(A_1, B_1)$ et $(A_2, B_2)$, il y a deux façons de les étiqueter chacune, ce qui fait quatre possibilités en tout.
Pourquoi alors n'envisages-tu que les couplages $(A_1,A_2)$ et $(B_1,B_2)$ et pas les deux autres: $(A_1,B_2)$ et $(B_1,A_2)$?
Amicalement
[small]p[/small]appus
Merci pappus et GaBuZoMeu de vous intéresser à mon exercice.
la figure que j'ai postée correspond à un tuyau creux d'un ensemble alimenté par une soufflerie.
il est construit (mais je ne sais par quel procédé) en formatant son enveloppe latérale (les segments A1A2 et B1B2 de ma figure quand M se déplace sur (d)) pour aboutir aux deux extrémités circulaires O1 et O2. Ces dernières extrémités sont reliées à des tuyaux cylindriques.
L'analogie que j'ai donnée (Ce problème vient de la trajectoire sur un plan de deux roues de rayons un peu différents et montées de guingois sur un essieu pas droit.) n'est bonne que si les roues sont fixes et solidaires de l'essieu.
Je l'ai proposée parce que j'ai fait une petite simulation en fil de fer (très imparfaite) qui ne me parait pas probante. Je ferai plus confiance à des certitudes mathématiques.
C'est par pure curiosité que je m'intéresse à ce problème.
ou les deux ne le sont pas...
avec la fonction trace de GeoGebra , on peut visualiser la surface engendrée en 3D . Voir fichier joint .
Cordialement
Merci fm_31 pour cette figure télechargeable. J'utilise Geogebra.
Mais cela ne dit pas si la surface engendrée est développable
et rien sur sa développée sur un plan.
Merci GaBuZoMeu. Comment caractériser la développée plane, pour pouvoir la dessiner ?
Mais pas le cas le plus général recherché . Ca ne semble pas facile .
Je sais calculer formellement et numériquement les points A1, A2,,B1, B2 en fonction d'un paramètre, l'angle H1O1A1 par exemple.
je résous alors la question 2 numériquement en calculant les distances (dans l'espace) entre les extrémités des segments (génératrices) et en reportant par triangulation sur un plan (développée de la surface).
En partant de 4 segments formant 4 quadrilatères gauches (donc 8 triangles) et en redivisant chacun successivement, j'obtiens une très bonne approximation de la surface développée.
j'aurais pourtant aimé avoir une démarche analytique plus formelle...