Surfaces de Riemann d'une fonction

Pour rajouter les points de ramifications, il faut faire la chose suivante : ta surface de Riemann te donne une application $p : U \to \Bbb C^*$ et la fibre de chaque point est de cardinal deux. Soit $D^*$ un petit disque épointé, alors $p^{-1}(D)$ est aussi un petit disque épointé, disons $D'$. On rajoute un point $p$ à $D'$. De manière abstraite on recolle un disque à $U$ le long de $D'$. Il reste encore les points à l'infini mais en gros c'est essentiellement la même chose avec le changement de variables $z \mapsto 1/z$.

C'est presque ça mais il faudrait plutôt dire " pour toutes petites courbes" : sinon pour n'importe quel point $z$ je peux trouver un courbe qui passe par $z$ tel que $f$ n'est pas prolongeable analytiquement (il suffit de relier $z$ à un point de branchement).

Je pense que c'est expliqué dans Eric Reyssat, "Quelques aspects des surfaces de Riemann". Si tu n'as pas peur de l'anglais c'est très bien expliqué dans le livre de Rick Miranda, "Algebraic curves and Riemann surfaces".

Oui ça marche n'importe quand. Tout d'abord c'est vrai que les points de branchements sont discrets, du moins si la fonction est algébrique. Par exemple si $f$ est un polynôme et $U = \{(w,z) \in \Bbb C^2 : w^n = f(z)\}$ alors les points de branchements de $U$ sont les points où $f(z) = 0$ ce qui est bien un ensemble discret. Le cas général doit plus ou moins marcher pareil.

Ensuite, au dessus d'un point de branchement, tu vas prendre un disque $D^*$ comme j'avais fait et regarder sa préimage $p^{-1}(D^*) \subset U$ où $p : U \to \Bbb C \backslash\{b_1, \dots, b_m\}$ est la surface de Riemann et les $b_i$ sont les points de branchements.
Maintenant $p^{-1}(D^*)$ est un revêtement de degré disons $d$ du disque $D^*$. Par conséquent, il se décompose en composantes connexes $D_1^*, \dots, D_r^*$ et chaque $D_i^*$ est un disque épointé, et $p : D_i^* \to D^*$ est de la forme $z \mapsto z^{k_i}$ pour $k_1 + \dots + k_r = d$. Il suffit de rajouter $r$ points, un par composantes connexes, exactement comme dans le cas précédent.

Edit :erreur de latex corrigée

Avec plaisir !

On peut étendre $f$ pour une fonction algébrique quelconque : l'idée étant que si $f(x) = b \in B$, alors toujours par notre construction on sait que $f$ restreint à un petit voisinage de $x$ s'écrit $z \mapsto z^n$ ($z$ est une coordonnée locale autour de $x$) et ça s'étends bien par continuité. Par exemple poser $\sqrt{0} = 0$ et $\sqrt{\infty} = \infty$ ne pose aucun souci, et en fait ça montre même que la surface de Riemann de $\sqrt$ est $\Bbb P^1$ sauf erreur.

En revanche, ce que j'ai écrit ne marche que dans le cas algébrique, désolé de ne pas l'avoir précisé. En fait déjà rajouter les points de ramifications pour un fonction multiforme non-algébrique n'est pas possible. On peut par exemple prendre le logarithme comme tu as fait, sa surface de Riemann est $X_f = \Bbb C$, et la projection est $\text{exp} : \Bbb C \to \Bbb C^*$. Prenons $D^* = \{z \in \Bbb C : 0 < |z| < 1\}$. On a alors $\text{exp}^{-1}(D^*) = \{w \in \Bbb C \mid e^w \in D^*\}$ et comme $ |e^w| = |e^{\mathfrak{R}(w)}|$ on voit que la préimage de ce disque est le rectangle $\{w \in \Bbb C \mid \mathfrak{R}(w) \in ]- \infty, 0[ \}$. En fait contrairement au cas auparavant ce n'est pas de la forme $D^*$ et donc il n'a pas de moyen évident de compactifier $X_f$.

De manière un peu plus rigoureuse, l'unique compactification analytique de $\Bbb C$ est $\Bbb P^1 = \Bbb C \sqcup \{\infty\}$ et rajouter un point de ramification reviendrait à définir $\lim\limits_{z \to \infty} e^z$ qui n'existe pas. Donc effectivement dans le cas du logarithme tu ne peux pas étendre mais tu as déjà rendu le logarithme univalué ce qui est déjà pas si mal !!

Donc
$$ P^1 \rightarrow P^1,\ [x_0,x_1] \mapsto [x_1,x_0]$$
est soit méromorphe soit nulle en $[0,1]$ suivant les cartes que l'on choisit dans l'image?
Bizarre, bizarre...
M.

Prends par exemple X=Y=disque de rayon 1. Si tu as une fonction méromorphe comme tu le dis ta série de Laurent risque d'être relativement triviale. Plus généralement, comme tu ne pourras pas sortir de ta carte locale sur Y toutes tes fonctions méromorphes seront en fait holomorphes...
M.

yenni : Peux tu décrire ta situation plus précisément ? Ta description n'est pas suffisante pour savoir si $f$ se prolonge en $a$ ou pas.

Pour la dernière question c'est vrai car une application holomorphe non-constante entre surfaces de Riemann connectés est toujours ouverte.