Le théorème de Pythagore et l'orthocentre

djelloul sebaa · November 2018

Bonjour.

Soit ABC un triangle quelconque.
Montrer que les trois hauteurs se coupent en un seul point et cela en utilisant le théorème de Pythagore

Cordialement
Djelloul Sebaa

pappus · November 2018

Bonjour
En appliquant deux fois l'axiome de Pythagore, on voit que la $A$-hauteur est le lieu des points $M$ tels que:
$MB^2-MC^2=AB^2-AC^2$.
De même:
la $B$-hauteur est le lieu des points $M$ tels que:
$MC^2-MA^2=BC^2-BA^2$.
la $C$-hauteur est le lieu des points $M$ tels que:
$MA^2-MB^2=CA^2-CB^2$.
Si le point $M$ appartient à la fois à la $B$-hauteur et à la $C$-hauteur, les deux dernières relations sont satisfaites.
En les additionnant, on voit alors que $M$ appartient aussi à la $A$-hauteur.
On a appliqué six fois l'axiome de Pythagore, c'est le super-pied!
A vrai dire quoiqu'on fasse en géométrie euclidienne, on utilise l'axiome de Pythagore à tout bout de champ!
On remarque aussi qu'on a fait de l'algèbre linéaire sans le dire!
Amicalement
[small]p[/small]appus

soland · November 2018

Je ne veux pas ouvrir un fil spécial pour la belle preuve qui suit.

Prérequis : Le centre $O$ du cercle circonscrit au triangle (ABC) est à égale distance de ces trois points.

Théorème : L'intersection des trois hauteurs d'un triangle est un point, noté H.
Lemme : $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OH}$.
Sous-lemme : Le point $H'$ défini par $\quad(*)\quad\overrightarrow{OH'}:=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\quad$ appartient à la hauteur issue de $A$.
Sous-sous-lemme : $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$ est orthogonal à $\overrightarrow{BC}$.

Une fois le sous-lemme acquis, on constate que le membre de droite de $(*)$ est invariant par la permutation circulaire $(A\;B\;C)$ et son carré, et que $H'$ appartient donc aussi aux hauteurs issues de $B$ et $C$ respectivement. $H'$ est donc le point $H$ cherché.

Preuve du sous-sous-lemme.
$$(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OB})\centerdot\overrightarrow{BC} = (\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OB})\centerdot(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}) = \|\overrightarrow{OC}\|^2 - \|\overrightarrow{OB}\|^2 = 0$$ 82280

pappus · November 2018

Bonjour
Cette preuve archiconnue doit traîner dans beaucoup de livres des année 1970 dès que le produit scalaire fut introduit dans les programmes. Aujourd'hui elle a dû tomber dans l'oubli et je remercie Soland de nous l'avoir rappelée.
On remarque aussi qu'elle fournit l'existence de la droite d'Euler, pourquoi?
On voit combien la linéarisation de la géométrie fut provisoirement bénéfique même dans la très modeste géométrie du triangle!
Amicalement
[small]p[/small]appus

soland · November 2018

$\frac{1}{2}\overrightarrow{OS}$ ...

Le théorème de Pythagore et l'orthocentre

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Bonjour!

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