Champ de vecteurs
Salut, s'il vous plaiît, j'aurais besoin de votre aide pour résoudre cette question.
Soit $U$ un ouvert connexe de $\mathbb{R}^n$ et $X=\sum X_l\partial_l$ un champ de vecteurs sur $U$ tel que $[X,Y]=0$ pour tout champ $Y$.
1) En prenant pour $Y$ le champ constant $\partial_k$ pour $k \in \left\{1,\ldots,n \right\}$, prouver que les coefficients $X_l$ de $X$ sont constants.
2) En prenant alors $Y=Pr_k \partial_k ,\ k \in \left\{1,\ldots,n \right\},$ prouver que $X=0$, où, $Pr_k$ est la projection sur le $k$ième facteur.
J'attends votre aide.
Merci.
Soit $U$ un ouvert connexe de $\mathbb{R}^n$ et $X=\sum X_l\partial_l$ un champ de vecteurs sur $U$ tel que $[X,Y]=0$ pour tout champ $Y$.
1) En prenant pour $Y$ le champ constant $\partial_k$ pour $k \in \left\{1,\ldots,n \right\}$, prouver que les coefficients $X_l$ de $X$ sont constants.
2) En prenant alors $Y=Pr_k \partial_k ,\ k \in \left\{1,\ldots,n \right\},$ prouver que $X=0$, où, $Pr_k$ est la projection sur le $k$ième facteur.
J'attends votre aide.
Merci.
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Réponses
La question ne serait-elle pas : "Comment calculer un crochet de Lie en coordonnées locales ?"
Pour $ 1) $ :
$ [ X , Y ] = [ \sum X_{ \ell } \partial_{ \ell } , \partial_k ] $
$ = \sum [ X_{ \ell } \partial_{ \ell } , \partial_k ] $
$ = \sum \big( (X_{ \ell } \partial_{ \ell } ) \partial_k - \partial_k (X_{ \ell } \partial_{ \ell } ) \big) $
$ = \sum X_{ \ell } \partial_{ \ell } \partial_k - \sum ( \partial_k X_{ \ell } ) \partial_{ \ell } - \sum X_{ \ell } \partial_k \partial_{ \ell } $
$ = - \sum ( \partial_k X_{ \ell } ) \partial_{ \ell } $
Donc, $ [X,Y] = 0 $ si et seulement si $ \sum ( \partial_k X_{ \ell } ) \partial_{ \ell } = 0 $.
Tu poursuis le raisonnement jusqu'à la fin.
Le calcul différentiel à la Cartan-Dieudonné fonctionne lui aussi parfaitement!
Localement:
$$[X,Y]=DY.X-DX.Y$$
Est-ce encore enseigné?
Si $Y$ est un champ constant arbitraire, alors $DY=0$ et $[X,Y]=-DX.Y=0$
Cette relation est valable pour tout champ constant $Y$, donc $DX=0$.
$X$ est un champ constant!
Donc $[X,Y]=DY.X=0$
En choisissant pour champ $Y$, le champ défini par:
$Y(M)=\overrightarrow{OM}$, on voit que $DY=Id$ et par suite:
$X=0$
Amicalement
[small]p[/small]appus