Symétrie orthogonale
dans Géométrie
Bonjour
J’ai une question peut-être un peu débile :-). Dans un espace affine euclidien $E$, l’homothétie vectorielle de rapport $-1$ est une symétrie orthogonale(8-) ) : la symétrie orthogonale sur $\{0\}$, non? J’en ai besoin pour montrer que toute involution affine est une symétrie orthogonale et réciproquement. En effet si $f$ est une involution, j’obtiens que nécessairement $\overrightarrow{f}=-\textbf{Id}$...
J’ai une question peut-être un peu débile :-). Dans un espace affine euclidien $E$, l’homothétie vectorielle de rapport $-1$ est une symétrie orthogonale(8-) ) : la symétrie orthogonale sur $\{0\}$, non? J’en ai besoin pour montrer que toute involution affine est une symétrie orthogonale et réciproquement. En effet si $f$ est une involution, j’obtiens que nécessairement $\overrightarrow{f}=-\textbf{Id}$...
Réponses
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Pour tout $u \in E$, $u=0+u$ qui est l’unique décomposition de $u$ sur $E\oplus \{0\}$. Donc c’est bien la définition non?
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Après réflexion, la question est d’autant plus débile que j’ai essayé de montrer que les involutions affines sont les symétries en passant par leur application associée! D’une part, $\text{Isom}(\mathcal{E})\to O(E), f \mapsto \overrightarrow{f}$ n’est pas injective, mais en plus il y a des involutions vectorielles qui ne sont pas des involutions affines, à commencer par les translations!
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Bonsoir
Quel charabia!Mathematoc a écrit:Dans un espace affine euclidien $E$, l’homothétie vectorielle de rapport $-1$ est une symétrie orthogonale(8-) ) : la symétrie orthogonale sur $\{0\}$, non?
Dans un espace affine $E$, les morphismes sont toujours des applications affines et ne sont jamais des applications vectorielles sauf si $E$ est déjà un espace vectoriel.
Parler dans l'espace affine $E$ de l'homothétie vectorielle de rapport $-1$ est donc une absurdité.
Dans un espace affine $E$, une homothétie de rapport $-1$ s'appelle une symétrie centrale.
Tu parles aussi du $\{0\}$ de l'espace affine $E$, encore une autre monstruosité!
Tu n'as pas une vision très claire des espaces affines et des espaces vectoriels!
L'adjectif orthogonal ne peut qualifier que des morphismes vectoriels!
Pour des morphismes affines, on parle plutôt d'isométries ou de morphismes isométriques.
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Merci pappus. C’est juste que je me suis mal exprimé, j’ai parlé d’espace affine euclidien. Les morphismes que j’évoque sont des morphismes de l’espace vectoriel directeur, j’ai d’ailleurs noté $E$, c’est juste un abus de langage...et pardon!
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Au fait, comment appelle-t-on dans ce cas une symétrie de l’espace affine dont la fonction linéaire associée est une symétrie orthogonale?
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Pour moi axiale et orthogonale, c’est du pareil au même...
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Dans un espace de dimension $\ge3$, c'est une erreur. Une symétrie axiale, c'est une symétrie par rapport à un axe – une droite – alors qu'une symétrie est orthogonale si les sous-espaces propres (espace des points fixes et espace propre associé à $-1$) sont orthogonaux. En dimension $3$, une réflexion plane est une symétrie orthogonale mais pas axiale.
Edit : deux bricoles. -
Effectivement, merci Math Coss!
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Et comment devrions-nous les appeler ces symétries affines dont la fonction linéaire associée est une symétrie orthogonale?
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Symétries orthogonales, pardi !
Je passe. -
L'adjectif orthogonal ne peut qualifier que des morphismes vectoriels!
Tous les géo-maîtres ne sont pas d’accord ou ai-je mal compris? :-) -
Bonsoir
Qu'est-ce qu'une symétrie de l'espace affine si on ne précise pas par ailleurs!
Il vaut mieux parler d'involution: $f^2=id$.
La partie linéaire d'une involution affine $f$ est automatiquement une involution vectorielle: $\overrightarrow {f^2}=Id$
Si de plus $\overrightarrow f$ est orthogonale, alors $f$ est une involution isométrique.
Parler d'une involution affine orthogonale me parait bizarre!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Si $f^2=id$, alors $\overrightarrow{f^2}=Id$ signifie plutôt « la partie linéaire de l’identité affine est l’identité vectorielle » non?
tandis que « la partie linéaire d’une involution affine est automatiquement une involution vectorielle » devrait s’écrire:
$\overrightarrow{f}^2=Id$, non? Peut-être que j’ergote... -
Révérence gardée, je ne vois pas pourquoi on s'interdirait l'adjectif orthogonal dans le monde affine. Voici deux références qui le font :
- C. Lebossé, C. Hémery et P. Faure, Géométrie et éléments de probabilités, classe de terminale D (1966) parlent p. 54 :
L'affinité est dans ce cas la symétrie oblique d'axe $\Delta$ et de direction $\delta$. Si cette affinité est orthogonale, on retrouve la symétrie axiale d'axe $\Delta$.
- Henri Lombardi, Géométries élémentaires.
- C. Lebossé, C. Hémery et P. Faure, Géométrie et éléments de probabilités, classe de terminale D (1966) parlent p. 54 :
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Mon cher Mathematoc
Je me suis sans doute mélangé les pinceaux avec le $\LaTeX$.
Il vaut mieux mettre des parenthèses:
$(\overrightarrow f)^2=Id$
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Mon cher pappus,
Merci pour ta réponse.
Math Coss,
Merci beaucoup pour ces références. Il me semble que Tauvel,Coste et Audin aussi :-)
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Bonjour!
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