Reduction d’une isométrie

Bonjour

Je voudrais montrer qu’une isométrie affine $f$ s’écrit de manière unique:
$f=t_{\overrightarrow{u}}\circ g$ où $g$ est une isométrie affine fixant au moins un point et $t$ une translation avec une demande supplémentaire: $\overrightarrow{f}$ fixe le vecteur de la translation.
Je commence par remarquer en première analyse que $f$ et $g$ doivent avoir la même partie linéaire et que le vecteur de translation est forcément de la forme $\overrightarrow{Mf(M)}$ où $M$ est un point fixe de $g$. Mais $g$ devant fixant au moins un point, je choisisun point $O$ et je prends pour $g$ l’unique application affine de partie linéaire $\overrightarrow{f}$ fixant $O$.
Donc on a $f=t_{\overrightarrow{Of(O)}}\circ g$. Mais on a :
$\overrightarrow{f}(\overrightarrow{Of(O)})=g(f(O))-O$. Mais il faudrait que $f$ et $g$ commutent pour que je puisse conclure, je tourne en rond...pourriez-vous m’aider? Merci beaucoup.