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dans Géométrie
Meilleurs fêtes à tous,
je voudrais reprendre la géométrie classique à partir des axiomes, et redérouler les théorèmes...
Auriez-vous une lecture à me conseiller qui repart bien du départ et en langage moderne ? Typiquement pour aller de zéro jusqu'aux coniques.
J'ai chez moi le Sortais sur la géométrie du triangle, il est top mais me pose deux difficultés.
1. Il ne repart pas du début mais suppose connus les premières propriétés du triangle et les points remarquables.
2. Il introduit les barycentres et donc le calcul vectoriel, et idem, les prérequis ne sont pas là. Je n'ai plus les idées claires sur le sujets : pourquoi, au fond, est-ce que la géométrie plane classique des triangles coïncide exactement avec les vecteurs du "plan affine" muni de coordonnées, cartésiennes ou barycentriques ?
Tout lien ou idées pour m'aider sur ces deux questions serait le bienvenue !
Bonne journée,
xavier;
je voudrais reprendre la géométrie classique à partir des axiomes, et redérouler les théorèmes...
Auriez-vous une lecture à me conseiller qui repart bien du départ et en langage moderne ? Typiquement pour aller de zéro jusqu'aux coniques.
J'ai chez moi le Sortais sur la géométrie du triangle, il est top mais me pose deux difficultés.
1. Il ne repart pas du début mais suppose connus les premières propriétés du triangle et les points remarquables.
2. Il introduit les barycentres et donc le calcul vectoriel, et idem, les prérequis ne sont pas là. Je n'ai plus les idées claires sur le sujets : pourquoi, au fond, est-ce que la géométrie plane classique des triangles coïncide exactement avec les vecteurs du "plan affine" muni de coordonnées, cartésiennes ou barycentriques ?
Tout lien ou idées pour m'aider sur ces deux questions serait le bienvenue !
Bonne journée,
xavier;
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Réponses
Si tu veux partir « des axiomes », il faut préciser de quel type d'axiomes tu veux partir. Il a été vérifié par Hilbert que ceux d'Euclide ne suffisent pas, par exemple.
Emil Artin a écrit un livre très intéressant, Geometric Algebra, dans lequel il relie notamment des configurations classiques de la géométrie affine (Pappus, Desargues...) aux axiomes de corps. L'idée est en gros : à quelles conditions une théorie géométrique est-elle la géométrie affine sur un corps et comment reconstruire ce corps en termes géométriques ?
Pour une approche plus directe – comment construire la géométrie à partir des espaces vectoriels ? – tu peux choisir un livre de géométrie pour le CAPES ou l'agrégation : Ladegaillerie, Mercier ou, plus ambitieux, Audin ; cf. ici par exemple.
- les fondements de la géométrie, de J Lelong-Ferrand, aux PUF jlf
- l'atlas des mathématiques, traduit de l'allemand, la pochotèque atlas
Cordialement.
Autres conseils de lectures : le site de Jean Perrin, notamment le module Projet de géométrie. Pour une vision synthétique, Méthodes modernes en géométrie de Jean Fresnel.
c'est dur pendant les fêtes...:)o
Ça fait plaisir des réponses pendant les fêtes précises et qui sont à propos.
Quelques premières remarques, qui en appelleront peut-être d'autres si d'aventures ces révisions vous intéressent un peu.
- Hilbert dans son "principes fondamentaux de la géométrie" (trouvé sur le site de la BNF) introduit les axiomes d'Euclide, puis dans le chap 2 dit : pour montrer que c'est complet et non contradictoire, il "suffit" d'assigner une géométrie à ces axiomes... Et il le fait pour un ensemble dénombrable d'objets... Un peu elliptique pour moi.
- Je comprends qu'on peut montrer facilement, a priori Audin le fait, que algèbre linéaire/affine sur les réels en dim finie => les axiomes de la géométrie classique sont vérifiés, donc essentiellement toute la géométrie du plan, de l'espace. J'ai bon ?
- Je n'ai pas accès au Artin, mais j'imagine que cela répond à mon interrogation qui est au fond : lien entre les nombres (corps de nombres, etc...) et les figures géométriques associées. Parce que à un moment il faut bien définir une distance...
- Pour le barycentre, j'imagine qu'on place les coefficients dans le corps de nombres considéré pour le système de coordonnées, typiquement Q, R ou C ? C'est rarement précisé...
Voilà pour les premières réflexions, je vais me pencher sur Hilbert en priorité car il repart bien "du début", en tous les cas dans son Chap 1.
[Pourquoi refuses-tu à Michèle Audin (1954- ) la majuscule que tu accordes abusivement à Algèbre, Affine, Géométrie ? AD]