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soland · December 2018

En dimension 3 il existe une sphère tangente aux arêtes d'un tétraèdre $ABCD$ donné ssi
$$
(*)\quad |AB|+|CD| = |AC|+|BD| = |AD|+|BC| \;\text{noté}\; s
$$
(cf. dessin du post précédent.)

Si l'on fixe $A$. $B$, $C$ et qu'on libère $D$ en gardant la condition $(*)$ D se déplace
sur une conique d'un plan perpendiculaire au plan $(ABC)$.

J'ai une preuve calculatoire et cherche les liens entre le triangle $(ABC)$ et cette conique.
Quelqu'un a des idées ?

Dessin : $(ABC)$, son cercle inscrit et la conique. 83048

poulbot · January 2019

Bonjour Christoph et Bonne Année à toi et à tes proches
Les points de ta conique situés dans le plan $ABC$ devraient être les centres des cercles de Soddy du triangle $ABC$.
Bien cordialement. Poulbot

soland · January 2019

@poulbot
Bonne année aussi à toi et les tiens.
Je pense que tu as raison.

poulbot · January 2019

Bonjour Christoph
Après des calculs infaisables à la main (par moi, en tout cas), j'ai trouvé que l'excentricité de ta conique était $\dfrac{p}{2IL}$, $p$ étant le périmètre de $ABC$, $I$ le centre du cercle inscrit et $L$ le point de Longchamps. (Les $2$ points de Soddy sont les sommets de l'axe focal).
C'est une ellipse ssi $p<4R+r$, ce qui équivaut à $\tan \dfrac{A}{2}+\tan \dfrac{B}{2}+\tan \dfrac{C}{2}>2$.
Le tout, sauf erreur de ma part, évidemment.
Bien cordialement. Poulbot

Math Coss · January 2019

Pour faciliter la consultation, voici le « dessin du post précédent ».

poulbot · January 2019

Bonjour Christoph
Curieusement, si $F$ et $F^{\prime }$ sont les foyers de ta conique, le cercle de diamètre $\left[ FF^{\prime }\right] $ est tangent au cercle $ABC$ au point $X_{934}$ dans ETC (point de concours, $g$ étant le point de Gergonne, des symétriques de la droite $Hg$ par rapport aux côtés de $ABC$).
Cela permet à qui en a le courage, de placer sur une figure les points remarquables de la conique.

Bien cordialement. Poulbot

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