De céviennes en ellipse

Bonsoir Jelobreuil
Ton exercice n'est qu'une simple application du théorème de Carnot que j'énonce ci-dessous.
On se donne dans le plan affine un triangle $ABC$ et sur chacun des trois côtés $BC$,$CA$, $AB$ respectivement trois paires de points $(a,a')$, $(b,b')$, $(c,c')$.
Alors ces six points sont sur une même conique si et seulement si la relation suivante , dite de Carnot, l'organisateur de la Victoire, faut le faire, est satisfaite:
$$\big(\dfrac{\overline{aB}}{\overline{aC}}.\dfrac{\overline{a'B}}{\overline{a'C}}\big).\big(\dfrac{\overline{bC}}{\overline{bA}}.\dfrac{\overline{b'C}}{\overline{b'A}}\big).\big(\dfrac{\overline{cA}}{\overline{cB}}.\dfrac{\overline{c'A}}{\overline{c'B}}\big)=1$$
Pour la démonstration, voir les vieux grimoires.
Par contre l'application de ce théorème devrait être simple: utilisation de l'axiome de Thalès autant de fois qu'il le faut!
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
L'inconvénient de ce théorème du père de la victoire est qu'il ne donne aucune indication sur le genre de la conique obtenue et cela seul un calcul en barycentriques le permettra!
Mais j'ai l'intuition que ta conique a les mêmes point à l'infini que la conique des $9$ points du quadrangle $(A,B,C,P)$ que nous avons rencontré récemment.

Bonsoir
Je viens de m'apercevoir qu'on pouvait se passer du théorème de Carnot et qu'on pouvait se contenter du théorème de Pascal. Cela n'est pas grave, vous aurez appris un théorème.
Remarquons quand même que ces deux théorèmes sont tous les deux aussi défunts l'un que l'autre!
On applique l'axiome de Thalès une première fois:
$$\dfrac{\overline{Ac}}{\overline{AC'}}=\dfrac{\overline{AB'}}{\overline{AC}}$$
Par suite:
$$\dfrac{\overline{Ac}}{\overline{AB}}=\dfrac{\overline{AB'}.\overline{AC'}}{\overline{AB}.\overline{AC}}$$
Rebelote avec l'axiome de Thalès:
$$\dfrac{\overline{Ab'}}{\overline{AB'}}=\dfrac{\overline{AC'}}{\overline{AB}}$$
Par suite:
$$\dfrac{\overline{Ab'}}{\overline{AC}}=\dfrac{\overline{AB'}.\overline{AC'}}{\overline{AB}.\overline{AC}}$$
Finalement:
$$\dfrac{\overline{Ac}}{\overline{AB}}=\dfrac{\overline{Ab'}}{\overline{AC}}$$
Toujours par l'axiome de Thalès, belote, rebelote et dix de der:
$cb'\parallel BC$
De la même façon, on montre les parallélismes: $ac'\parallel AC$ et $ba'\parallel AB$
Combien de fois, on s'est farci Thalès, le seul axiome qui nous reste encore provisoirement en géométrie affine?
C'est vraiment trop much!
Maintenant place à l'auteur immortel des Pensées:
Les intersections $b'c\cap aa'$, $c'a\cap bb'$, $a'b\cap cc'$ sont alignées sur la droite de l'infini, bienheureuse droite virée de notre culture comme une malpropre et les six points $a$, $b$, $c$, $a'$, $b'$, $c'$ sont sur une même conique.
Amicalement
[small]p[/small]appus