Longueur et normale à une spline cubique

Bonjour.

Pour une courbe paramétrée (x(t),y(t)), un vecteur directeur d'une tangente en $M(x(t_0),y(t_0))$ est le vecteur de composantes $(x'(t_0),y'(t_0))$; sauf si ces deux dérivées sont simultanément nulles. On en déduit facilement un vecteur normal $(y'(t_0),-x'(t_0))$ puis l'équation d'une normale.

Cordialement.

1) voir un cours sur les courbes paramétrées. Le cas se présente rarement, je doute qu'il arrive avec les spline.
2) voir un cours sur les applications de l'intégration (ou simplement taper "longueur d'une courbe" sur un moteur de recherche).

Il y a un seul paramètre et ce paramètre est la seule variable d'intégration !
Tu as une paramétrisation $M(t)$ et tu veux savoir la distance parcourue par le point $M$ quand $t$ varie de $0$ à $N$. C'est facile : tu intègres de $0$ à $N$ la norme du vecteur vitesse $M'(t)$.

Pourquoi alors poses-tu cette question (de la longueur de la courbe) ?
Et qu'est-ce que le "centre" d'une courbe ???

Deux remarques pas très intéressantes. Si on a \[\begin{cases} x_c=at^3+bt^2+ct+d\\
y_c=at^3+bt^2+ct+d, \end{cases}\]alors $x_c=y_c$ pour tout $t$. Autrement dit, pour dire que $x_c$ et $y_c$ sont paramétrés par des polynômes de degré $3$ quelconques, il faut choisir des lettres différentes. On peut noter $a$, $b$, etc., des réels quelconques mais d'une ligne à l'autre, ils faut qu'ils gardent la même valeur, sans quoi on ne peut pas faire le moindre calcul. C'est la raison pour laquelle il est maladroit de parler de $y=ax+b$ ou de $x=a$ juste en-dessous, vu que $a$ et $b$ sont « déjà pris ».

Comme le dit Gérard, il est rare que les deux dérivées s'annulent en même temps avec des données « de la vraie vie ». Si jamais cela arrivait, on pourrait utiliser une version de la règle de L'Hôpital. Ce que l'on cherche, c'est équation de la tangente. On la met sous forme $y=px+q$ si on peut. En fait, c'est surtout la pente de la tangente qu'on cherche, c'est-à-dire $p$, et on en déduit $q$ par $q=y_c(t_0)-px_c(t_0)$. En général, elle vaut $p=\frac{y'(t_0)}{x'(t_0)}$. Si $x'(t_0)=0$ et $y'(t_0)\ne0$, ce quotient « vaut » $\infty$, la tangente est verticale. Si $x'(t_0)=0=y'(t_0)$, on peut chercher $\lim_{t\to t_0}\frac{y'(t)}{x'(t)}$, qui par la règle de L'Hôpital vaut $\frac{y''(t_0)}{x''(t_0)}$ si ce quotient existe dans $\R\cup\{\infty\}$. S'il n'existe pas, on est vraiment badloqué en maudit, c'est que $y''(t_0)=0=x''(t_0)$. On peut alors jouer au même jeu et obtenir $\lim_{t\to t_0}\frac{y'(t)}{x'(t)}=\frac{y'''(t_0)}{x'''(t_0)}$ (et là, les deux ne s'annuleront pas simultanément parce qu'on part de polynômes de degré au plus $3$ : soit la dérivée troisième est constante et non nulle, soit le degré était au plus $2$ et une dérivée d'ordre $1$ ou $2$ constante et non nulle était apparue avant).

Bref, voici une présentation possible du calcul :

1. Si $x'(t_0)\ne0$, alors $p=\dfrac{y'(t_0)}{x'(t_0)}$ et $q=y_c(t_0)-px_c(t_0)$.
2. Si $x'(t_0)=0$, deux sous-cas :
   1. si $y'(t_0)\ne0$, alors « $p=\infty$ » : la tangente est verticale, son équation est $x=x_c(t_0)$ ;
   2. si $y'(t_0)=0$, deux sous-sous-cas :
      1. si $x''(t_0)\ne0$, alors $p=\dfrac{y''(t_0)}{x''(t_0)}$ et $q=y_c(t_0)-px_c(t_0)$ ;
      2. si $x''(t_0)=0$, deux sous-sous-sous-cas :
         • si $y''(t_0)\ne0$, alors « $p=\infty$ » : la tangente est verticale, son équation est $x=x_c(t_0)$ ;
         • si $y''(t_0)=0$, alors $p=\dfrac{y'''(t_0)}{x'''(t_0)}$ et $q=y_c(t_0)-px_c(t_0)$.

Attention, ce que j'ai écrit, c'est pour la tangente et pas la normale.

Pour la longueur, la formule générale de la longueur d'une courbe paramétrée par $(x(t),y(t))$ avec $t\in[a,b]$ est : \[L=\int_a^b\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}\mathrm{dt}.\] Pour en calculer une approximation numérique (on ne peut pas espérer une formule si $x$ et $y$ sont des polynômes de degré $\ge2$), un bon compromis entre facilité de calcul et efficacité est la méthode de Simpson : \[L\simeq
\frac{h}{3}\bigg[f(x_0)+2\sum_{j=1}^{n/2-1}f(x_{2j})+4\sum_{j=1}^{n/2}f(x_{2j-1})+f(x_n)\bigg],\] avec

• $\displaystyle f(t)=\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}$ pour tout $t$, c'est la fonction à intégrer ;
• $n$ est le nombre (pair) d'intervalles dans la subdivision, qu'il faut choisir en fonction de la précision souhaitée ;
• $h=\dfrac{b-a}{n}$ est le pas de la subdivision ;
• $x_j=a+jh$ pour tout $j\in\{0,\dots,n\}$.

Difficile de dire a priori quelle valeur de $n$ choisir parce que la précision est proportionnelle à $\frac{(b-a)^5}{n^4}\max|f^{(4)}|$, c'est-à-dire qu'elle dépend de $f$.

Non, ce n'est pas le centre de gravité.

Pour détecter les dents, une suggestion un peu vague qui marche si les points du bords, disons $(M_i)_{0\le i\le n}$ sont assez nombreux et s'ils sont donnés dans l'ordre. Elle consiste à détecter les discontinuités de l'angle formé par l'axe des abscisses et le vecteur $\overrightarrow{M_iM_{i+1}}$, calculé par

atan2(y[i+1]-y[i ], x[i+1]-x[i ])

En effet, en un point de rebroussement, la valeur de cet angle devrait changer pratiquement de $\pi$, du moins une dent « devrait se voir ». Une façon de tester : afficher la liste de ces valeurs, détecter s'il y a des sauts importants ($>\frac\pi2$ ?), tracer en rouge les pixels correspondants aux points où l'indice est celui d'un saut important.


Pour le calcul de la longueur, c'est un peu décevant que ça marche si mal. Qu'est-ce que ça donne avec $n=100$ intervalles au lieu de $10000$ ?

Merci pour les points. Ces feuilles sont bien rondes, hein ! Rien de miraculeux à proposer, deux remarques quand même :

• la première chose que j'ai eu envie de faire, c'est de diviser toutes les coordonnées par $1000$ ; la deuxième, de faire une moyenne pour remplacer le point $M_k$ par une moyenne pondérée (un barycentre) \[\begin{pmatrix}\frac{1}{4}x_{k-1}+\frac24x_k+\frac14x_{k+1}\\\frac{1}{4}y_{k-1}+\frac24y_k+\frac14y_{k+1}\end{pmatrix}
  \quad\text{ou}\quad
  \begin{pmatrix}\frac{1}{16}x_{k-2}+\frac{4}{16}x_{k-1}+\frac{6}{16}x_k+\frac4{16}x_{k+1}+\frac{1}{16}x_{k+2}\\\frac{1}{16}y_{k-2}+\frac{4}{16}y_{k-1}+\frac{6}{16}y_k+\frac4{16}y_{k+1}+\frac{1}{16}y_{k+2}\end{pmatrix}
  \;:\]ça régularise un peu (voir figure jointe) ; les coefficients sont calculés d'après les coefficients du binôme ;
• pour calculer la longueur si la courbe est données uniquement par des points, il suffit en effet de faire la somme des segments ; une formule comme Simpson ne se justifie que si on a des vrais paramétrages par des fonctions (comme dans le titre du message qui parle de spline).

Figures pour montrer que « moyenner améliore » (un peu) : en vert, les points initiaux ; en bleu, les points moyennés :

• (pdf) tracé du bord de la feuille ;
• (ci-dessous à gauche) détail du précédent ;
• (ci-dessous à droite) tracé de l'angle $(\vec{\imath},\overrightarrow{M_kM_{k+1}})$ (pour $k$ de $800$ à $1100$) comme ici : on voit apparaître des choses.