Mon cher Soland
S'agit-il de trouver les points communs aux trois sphères d'équations?:
$x(x-5)+y(y-4)+z(z-11)=0$
$x(x+7)+y(y-7)+z(z-8)=0$
$(x-5)(x+7)+(y-4)(y-7)+(z-11)(z-8)=0$
Amicalement
[small]p[/small]appus
Bonsoir Soland
J'ai utilisé Maxima, ce n'est pas très glorieux mais est-ce cela que tu attendais?
Dans les deux cas de figure, les distances des 2 points à l'axe sont égales à $9$.
Amicalement
[small]p[/small]appus
Bonsoir
Mais peut-être Soland attendait-il les matrices de ces quarts de tour (dans la base canonique de $\mathbb R^3$)?
Avec la méthode que j'ai suivie pour obtenir leurs axes, ce ne devrait plus être très difficile!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Bonjour
Il y a un exercice qui me semble plus intéressant.
Etant donné un vecteur unitaire $\bf u$$=(a,b,c)\in \mathbb R^3\ $, trouver les matrices (inverses l'une de l'autre) des deux quarts de tour d'axe $\bf u$.
Amicalement
[small]p[/small]appus
Quitte à remplacer $a$, $b$ et $c$ par leur quotient par $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$, on peut supposer que $a^2+b^2+c^2=1$. Voici un quart de tour, l'autre s'obtient en transposant [\begin{pmatrix}
a^2 &
ab-c & ac+b \\
ab+c &
b^2 &bc-a \\
ac-b & bc+a & c^2
\end{pmatrix}\]Si $a=b=0$, c'est facile. On suppose donc $a^2+b^2>0$ et on pose $d=1/\sqrt{a^2+b^2}$. Alors $v=(-db,da,0)$ est orthogonal à $u$ et de norme $1$, et $w=u\wedge v$ complète $(u,v)$ en une base orthonormée. On peut écrire la matrice de passage $P$, choisir un quart de tour $J$ qui fixe le premier vecteur de la base canonique et calculer $PJP^{-1}$.
R.<A,B,C,D> = PolynomialRing(QQ,4)
I = [A^2+B^2+C^2-1,D^2*(A^2+B^2)-1]
Q = R.quotient(I)
a, b, c, d = Q(A), Q(B), Q(C), Q(D)
u, v = vector((a,b,c)), d*vector((-b,a,0))
w = u.cross_product(v)
P = Matrix(Q,3,3,(u,v,w)).transpose()
J = Matrix([[1,0,0],[0,0,-1],[0,1,0]])
M = P*J*P.transpose()
print M
# Vérifications :
P; P*P.transpose(); M*M.transpose(); M^2; M^4; M*u==u
(Il se trouve que le coefficient d'indice $(0,0)$ donné par Sage est $-b^2-c^2+1$ et pas $a^2$, je ne sais pas pourquoi. Peut-être que ça peut se régler en fixant l'ordre sur les monômes ?)
Merci Math Coss
Je m'attendais à quelque chose de plus logique de la part d'un algébriste.
Comme tu l'as dit le résultat est facile pour $\bf u_0$$=(0,0,1)$
Il suffit alors de conjuguer par toute isométrie envoyant $\bf u_0$ sur $\bf u$ et par exemple par une isométrie involutive pour éviter d'avoir à calculer l'inverse. On peut choisir soit le demi-tour soit la symétrie plane échangeant $\bf u_0$ et $\bf u$.
J'avoue avoir la flemme de faire les calculs. Sont-ils vraiment plus simples que ceux que tu as faits?
Amicalement
[small]p[/small]appus
Voici le calcul d'après la suggestion de pappus. Ici il faut supposer que $u$ n'est pas le vecteur $(0,0,-1)$, ce qui permet de poser $n=\frac1{\|u+u_0\|^2}=\frac{1}{2(1-c)}$. Difficile de comparer précisément les calculs, je ne les fais pas... C'est un peu du même genre.
R.<A,B,C,N> = PolynomialRing(QQ,4)
I = [A^2+B^2+C^2-1,N*2*(1-C)-1]
Q = R.quotient(I)
a, b, c, n = Q(A), Q(B), Q(C), Q(N)
u, v0 = vector((a,b,c)), n*vector((a,b,c-1))
def S(v):
return v-2*v.dot_product(v0)/n*v0
P = Matrix(Q,3,3,[S(vector(identity_matrix(3)[k])) for k in range(3)]).transpose()
J = Matrix([[0,-1,0],[1,0,0],[0,0,1]])
M = P*J*P.transpose()
Merci Math Coss
Tu retournes délicieusement le couteau dans la plaie en affichant clairement la couleur dès la première ligne de ta rédaction programmée de ma méthode:
R.<A,B,C,N> = PolynomialRing(QQ,4).
Je trouve la mienne plus simple dans la mesure où je n'ai pas à construire une base orthonormée intermédiaire mais ce n'est qu'une question d'opinion et ce n'est pas certain que les calculs soient plus simples.
Penses-tu que cela pourrait faire une planche d'un concours et ce sans utilisation de quelque logiciel que ce soit, le but étant d'arriver sans trop de bobos à la matrice:
\[\begin{pmatrix}
a^2 &ab-c & ac+b \\
ab+c & b^2 &bc-a \\
ac-b & bc+a & c^2
\end{pmatrix}\]
La solution par les quaternions m'intéresse aussi, je sais en avoir lu une il y a des décennies, mais je n'ai pas compris les explications de Soland.
D'après mes vagues souvenirs, on doit faire opérer les quaternions par conjugaison sur l'espace des quaternions purs.
Tout cela est si brumeux et de plus je suis loin de mes bases pour un bon bout de temps!
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
J'ai enfin compris ce qu'a fait Soland, il a juste fallu que je me souvienne!
C'est le $\dfrac 1{\sqrt 2}=\cos(\dfrac{\pi} 4)=\sin(\dfrac{\pi}4)$ qui m'a mis la puce à l'oreille!
@pappus, version courte,
Un quaternion s'écrit $(a+V)$ ou $a$ est un réel et $V$ un vecteur : $V=(b,c,d)$
L'addition est donnée par $(a+V)+(a'+V') = ((a+a')+(V+V'))$
La multiplication $*$ des quaternions est distributive : $(a+V)*(a'+V')=a*a'+a*V'+a'*V+V*V'$
$a*a'$ est le produit réel des réels : $a$ et $a'$
$a*V'$ est la multiplication du vecteur $V'$ par le scalaire $a$
$V*V' := (-V.V'+V\times V')$ avec le produit scalaire . et le produit vectoriel $\times$.
Exemple :
$
(2+(-1,3,2))*(-1+(1,0,-3) =
$
$
2(-1)+2(1,0,-3)+(-1)(-1,3,2) - (-1,3,2).(1,0,-3)+(-1,3,2)\times(1,0,-3) =
$
$
(-2)+(2,0,-6)+(1,-3,-2) -(-7)+(-9,-1,-3) = (5+(-6,-4,-11))
$
A cause du produit vectoriel $*$ est non commutative.
On vérifie que $a+(b,c,d))*(a-(b,c,d))=((a^2+b^2+c^2+d^2)+(0,0,0))$
En divisant le second facteur et le deuxième membre par $(a^2+b^2+c^2+d^2)$ on voit apparaître un inverse du premier facteur.
Par la grâce de Sir W. R. Hamilton ces opérations font de $\mathbb{R}\times \mathbb{R}^3$ un corps non commutatif.
Merci Soland
Si j'ai bien compris, la matrice du quart de tour n'est qu'un cas particulier de la matrice d'Olinde Rodrigues (1795-1851), C'est son sujet de thèse soutenue à Paris en $1815$. Il était donc français alors que je l'imaginais plus ou moins espagnol ou portugais!
Il a fini sa vie comme banquier mais saint-simonien comme quoi les groupes orthogonaux mènent à tout!
Il en a donc fallu du temps pour que les matrices passent enfin de la recherche à notre enseignement!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Je ne connaissais pas Olinde Rodrigues; j'ai regardé dans Wikipedia.
Pour finir rapidement :
Pour tourner le quaternion $(0+X)$ d'un angle $2t$ autour de l'axe orienté de vecteur directeur unitaire $U$
on calcule $(\cos t + \sin t\, U)*(0+X)*(\cos t - \sin t\, U)$
J'ai appris cela à 17 ans dans le Lentin-Riveau (Rivaud ?)
que j'ai relié de mes mains, tant usé était-il...
Je l'ai malheureusement perdu.
Bonjour
Voici un petit article que j'avais rédigé à mes étudiants sur la paramétrisation de Cayley du groupe $SO(3)$ et faisant intervenir la matrice d'Olinde Rodrigues.
Tout ceci est si loin que je l'avais totalement oublié!
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Je viens de m'apercevoir d'une erreur grossière sur la fin mais tout le monde corrigera.
Je n'ai plus la possibilité de modifier ce fichier!
Réponses
S'agit-il de trouver les points communs aux trois sphères d'équations?:
$x(x-5)+y(y-4)+z(z-11)=0$
$x(x+7)+y(y-7)+z(z-8)=0$
$(x-5)(x+7)+(y-4)(y-7)+(z-11)(z-8)=0$
Amicalement
[small]p[/small]appus
J'ai utilisé Maxima, ce n'est pas très glorieux mais est-ce cela que tu attendais?
Dans les deux cas de figure, les distances des 2 points à l'axe sont égales à $9$.
Amicalement
[small]p[/small]appus
Mais peut-être Soland attendait-il les matrices de ces quarts de tour (dans la base canonique de $\mathbb R^3$)?
Avec la méthode que j'ai suivie pour obtenir leurs axes, ce ne devrait plus être très difficile!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Je parlais bien des axes.
Tes calculs donnent bien deux vecteurs directeurs de ces axes,
mission accomplie.
J'aime bien parfois rendre visite à la "clattering coordinate mill."
J'ai une approche légèrement différente :
Il y a un exercice qui me semble plus intéressant.
Etant donné un vecteur unitaire $\bf u$$=(a,b,c)\in \mathbb R^3\ $, trouver les matrices (inverses l'une de l'autre) des deux quarts de tour d'axe $\bf u$.
Amicalement
[small]p[/small]appus
et regarderai ton post après.
a^2 &
ab-c & ac+b \\
ab+c &
b^2 &bc-a \\
ac-b & bc+a & c^2
\end{pmatrix}\]Si $a=b=0$, c'est facile. On suppose donc $a^2+b^2>0$ et on pose $d=1/\sqrt{a^2+b^2}$. Alors $v=(-db,da,0)$ est orthogonal à $u$ et de norme $1$, et $w=u\wedge v$ complète $(u,v)$ en une base orthonormée. On peut écrire la matrice de passage $P$, choisir un quart de tour $J$ qui fixe le premier vecteur de la base canonique et calculer $PJP^{-1}$. (Il se trouve que le coefficient d'indice $(0,0)$ donné par Sage est $-b^2-c^2+1$ et pas $a^2$, je ne sais pas pourquoi. Peut-être que ça peut se régler en fixant l'ordre sur les monômes ?)
Je m'attendais à quelque chose de plus logique de la part d'un algébriste.
Comme tu l'as dit le résultat est facile pour $\bf u_0$$=(0,0,1)$
Il suffit alors de conjuguer par toute isométrie envoyant $\bf u_0$ sur $\bf u$ et par exemple par une isométrie involutive pour éviter d'avoir à calculer l'inverse. On peut choisir soit le demi-tour soit la symétrie plane échangeant $\bf u_0$ et $\bf u$.
J'avoue avoir la flemme de faire les calculs. Sont-ils vraiment plus simples que ceux que tu as faits?
Amicalement
[small]p[/small]appus
OU ALORS utiliser les quaternions :
$$
(0+(x,y,z)) \mapsto (r+r(a,b,c))*(0+(x,y,z))*(r-r(a,b,c))\qquad\text{où}\qquad r=\sqrt{1/2}
$$
R.<A,B,C,N> = PolynomialRing(QQ,4) I = [A^2+B^2+C^2-1,N*2*(1-C)-1] Q = R.quotient(I) a, b, c, n = Q(A), Q(B), Q(C), Q(N) u, v0 = vector((a,b,c)), n*vector((a,b,c-1)) def S(v): return v-2*v.dot_product(v0)/n*v0 P = Matrix(Q,3,3,[S(vector(identity_matrix(3)[k])) for k in range(3)]).transpose() J = Matrix([[0,-1,0],[1,0,0],[0,0,1]]) M = P*J*P.transpose()Tu retournes délicieusement le couteau dans la plaie en affichant clairement la couleur dès la première ligne de ta rédaction programmée de ma méthode:
R.<A,B,C,N> = PolynomialRing(QQ,4).
Je trouve la mienne plus simple dans la mesure où je n'ai pas à construire une base orthonormée intermédiaire mais ce n'est qu'une question d'opinion et ce n'est pas certain que les calculs soient plus simples.
Penses-tu que cela pourrait faire une planche d'un concours et ce sans utilisation de quelque logiciel que ce soit, le but étant d'arriver sans trop de bobos à la matrice:
\[\begin{pmatrix}
a^2 &ab-c & ac+b \\
ab+c & b^2 &bc-a \\
ac-b & bc+a & c^2
\end{pmatrix}\]
La solution par les quaternions m'intéresse aussi, je sais en avoir lu une il y a des décennies, mais je n'ai pas compris les explications de Soland.
D'après mes vagues souvenirs, on doit faire opérer les quaternions par conjugaison sur l'espace des quaternions purs.
Tout cela est si brumeux et de plus je suis loin de mes bases pour un bon bout de temps!
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
J'ai enfin compris ce qu'a fait Soland, il a juste fallu que je me souvienne!
C'est le $\dfrac 1{\sqrt 2}=\cos(\dfrac{\pi} 4)=\sin(\dfrac{\pi}4)$ qui m'a mis la puce à l'oreille!
Un quaternion s'écrit $(a+V)$ ou $a$ est un réel et $V$ un vecteur : $V=(b,c,d)$
L'addition est donnée par $(a+V)+(a'+V') = ((a+a')+(V+V'))$
La multiplication $*$ des quaternions est distributive : $(a+V)*(a'+V')=a*a'+a*V'+a'*V+V*V'$
$a*a'$ est le produit réel des réels : $a$ et $a'$
$a*V'$ est la multiplication du vecteur $V'$ par le scalaire $a$
$V*V' := (-V.V'+V\times V')$ avec le produit scalaire . et le produit vectoriel $\times$.
Exemple :
$
(2+(-1,3,2))*(-1+(1,0,-3) =
$
$
2(-1)+2(1,0,-3)+(-1)(-1,3,2) - (-1,3,2).(1,0,-3)+(-1,3,2)\times(1,0,-3) =
$
$
(-2)+(2,0,-6)+(1,-3,-2) -(-7)+(-9,-1,-3) = (5+(-6,-4,-11))
$
A cause du produit vectoriel $*$ est non commutative.
On vérifie que $a+(b,c,d))*(a-(b,c,d))=((a^2+b^2+c^2+d^2)+(0,0,0))$
En divisant le second facteur et le deuxième membre par $(a^2+b^2+c^2+d^2)$ on voit apparaître un inverse du premier facteur.
Par la grâce de Sir W. R. Hamilton ces opérations font de $\mathbb{R}\times \mathbb{R}^3$ un corps non commutatif.
A suivre...
Si j'ai bien compris, la matrice du quart de tour n'est qu'un cas particulier de la matrice d'Olinde Rodrigues (1795-1851), C'est son sujet de thèse soutenue à Paris en $1815$. Il était donc français alors que je l'imaginais plus ou moins espagnol ou portugais!
Il a fini sa vie comme banquier mais saint-simonien comme quoi les groupes orthogonaux mènent à tout!
Il en a donc fallu du temps pour que les matrices passent enfin de la recherche à notre enseignement!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Pour finir rapidement :
Pour tourner le quaternion $(0+X)$ d'un angle $2t$ autour de l'axe orienté de vecteur directeur unitaire $U$
on calcule $(\cos t + \sin t\, U)*(0+X)*(\cos t - \sin t\, U)$
J'ai appris cela à 17 ans dans le Lentin-Riveau (Rivaud ?)
que j'ai relié de mes mains, tant usé était-il...
Je l'ai malheureusement perdu.
Voici un petit article que j'avais rédigé à mes étudiants sur la paramétrisation de Cayley du groupe $SO(3)$ et faisant intervenir la matrice d'Olinde Rodrigues.
Tout ceci est si loin que je l'avais totalement oublié!
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Je viens de m'apercevoir d'une erreur grossière sur la fin mais tout le monde corrigera.
Je n'ai plus la possibilité de modifier ce fichier!
Pour faire bonne mesure, je rajoute l'article original d'Olinde Rodrigues.
Peut-on encore le lire?
Amicalement
[small]p[/small]appus