Figure pour arctan(x)+arctan(1/x)

Tyoussef · January 2019

Bonjour ou bonsoir (voir l'heure)
Peut-on retrouver des figures qui représentent $$

\arctan(x)+\arctan\Big(\frac{1}{x}\Big)=\pm \frac{\pi}{2}.

$$ Amicalement.

pappus · January 2019

Bonjour
Serait-ce du franglais?
figure en anglais veut dire chiffre en français.
Il faudrait donc comprendre:
existe-t-il des réels $x$ tels que
$\arctan(x)+\arctan(\frac 1x)=\pm \frac{\pi}2$?
Oui, c'est une question grave à laquelle il va falloir répondre!
Mais que vient-elle faire sur le forum de géométrie?
Amicalement
[small]p[/small]appus

Poirot · January 2019

Je pense que Tyoussef attend une interprétation géométrique de sa formule.

gai requin · January 2019

Bonjour pappus,

Peut-être que Tyoussef a l'idée folle de se lancer dans les angles, la trigonométrie et que sais-je encore ? 83620

Tyoussef · January 2019

$@pappus$

C'est bonne question frère du mathématiques , il me faut deux mois pour la repense .
Ma question c'est une représentation géométrique ( figure ) de cette relation existe .

( Pour ma langue natale ni français , ni anglais , (une langue locale date des pharaons , notre année cette année 2969 ))

Amicalement

Tyoussef · January 2019

$@gai \; requin$

Oui , c'est toujours comme ça la folie , la folie c'est nous les profs de la folie (pour rire )
C'est belle figure , très jolie , je la trouve belle. Avec la géométries synthétique, on a rien

Tyoussef · January 2019

$@ Poirot $
Bien vu , c'est ça l'idée .

Tyoussef · January 2019

$@ gai \; requin$
La somme est claire dans tout les variables , même le 0 et $+-\infty $

moduloP · January 2019

Salut,

Soit $t$ un nombre et $M(1,t)$ le point dans un repère $(O,i,j)$. Alors $\text{Arctan}(t)$ est l'angle formée entre $(i,OM)$.

On remarque que $M$ est l'intersection de $x=1$ et $y=tx$. La droite symétrique de $y=tx$ par la première bissectrice est $y=x/t$ et elle coupe $x=1$ en $(1,1/t)$. Ainsi $\text{Arctan}(1/t)$ est l'angle formée entre $(i,ON)$ où $N$ est le symétrie de $M$ par rapport à la première bissectrice.
Un petit calcul pour finir : $(i,OM) = -(j,ON) $ d'où $(i,OM)+(i,ON) = (ON,j)+(i,ON)=(i,j) = {\pi \over 2}$

Un bon charabia ce que je raconte :-D

Tyoussef · January 2019

$@\; moduloP $
NoN ce n'est pas du charabia, c'est la folie (mathématique) :-D, j'ai compris ce que tu dis. Mais fais une figure même sur la figure de $gai \; requin$ .

pappus · January 2019

Bonjour
S'il demande de tracer le graphe, il vaut mieux qu'il aille sur le forum d'analyse dont c'est le boulot d'étudier les fonctions.
Il peut par exemple dériver la fonction qu'il a sous les yeux et regarder ce que cela donne!
En tout cas écrire en bon français, cela peut aider!
Amicalement
[small]p[/small]appus

JLT · January 2019

$ $

fm_31 · January 2019

Autre figure 83624

Tyoussef · January 2019

$@ JLT$

Oui c'est ça , cette figure est -t-il dans un livre ? si oui le nom et merci . Il est jolie , et elle visualise la notion $arctg(x)$
pour le lecteur . Je la trouve aussi très didactique pour expliquer la que cette relation est vivante

Tyoussef · January 2019

$@ \; fm \; 31$
Aussi une belle figure , tu as monté l'emplacement la figure dans le cercle trigonométriques .

Tyoussef · January 2019

Bonjour ou bonsoir (voir l'heure)
Je cherche un livre ou site .. ou on peut trouver les figure de trigonométrie.
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,1761052
Amicalement.

[Restons dans la discussion que tu as ouverte pour ces figures. AD]

pappus · January 2019

Bonjour
Tout se passe sur le demi-cercle $CAE$.
$x=\overline{AB}$, $\frac 1 x=\overline{CD}$
Sur la figure de gauche:
$\arctan(x)$ est la mesure comprise entre $0$ et $\frac{\pi}2$ de l'angle orienté de vecteurs $(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OM})$
$\arctan(\frac 1x)$ est la mesure comprise entre $0$ et $\frac{\pi}2$ de l'angle orienté de vecteurs $(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{OC})$
Sur la figure de droite:
$\arctan(x)$ est la mesure comprise entre $-\frac{\pi}2$ et $0$ de l'angle orienté de vecteurs $(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OM})$
$\arctan(\frac 1x)$ est la mesure comprise entre $-\frac{\pi}2$ et $0$ de l'angle orienté de vecteurs $(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{OE})$
J'ai modifié mon texte!
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
La nouvelle année 2969 a eu lieu le 7 Janvier dernier! Bonne année quand même à Tyoussef! Il n'est jamais trop tard! 83642

Tyoussef · January 2019

$@pappus$
Merci , il n'est jamais tard , ( à vous aussi Bonne année 2019 , si c'est votre année )
Oui très belle idée , le sens des angles donne la figure de $\frac{-\pi}{2}$ .En fait , je me demande où se cache-t-elle B-)-

Tyoussef · January 2019

Vous pensez quoi ? 83660

pappus · January 2019

Bonjour Tyoussef
J'en pense que ta figure avait déjà été proposée par fm_31!
Mais la mienne est plus juste!
Elle distingue le cas $x>0$ du cas $x<0$
Pour $x>0$, $\arctan(x)+\arctan(\frac 1x)=\frac{\pi}2$
Pour $x<0$, $\arctan(x)+\arctan(\frac 1x)=-\frac{\pi}2$
Amicalement
[small]p[/small]appus

Tyoussef · January 2019

$@pappus$
je n'ai pas fait attention car je vois que $fm\_31 $, est parti en haut pour chercher $\arctan\frac{1}{x}$.
Mais si c'est le cas alors je viens juste de la comprendre :-D, mes excuses à $fm\_31 $.
Une remarque, $\frac{1}{x}>x$, car $x\in [0,1]$. Oui tes figures sont belles, elles me donnent une idée sur un travail personnel.

fm_31 · January 2019

Tyoussef a écrit:

Une remarque, 1/x > x, car x appartient[0,1].

On ne doit pas parler du même x ...

pappus · January 2019

Bonsoir
En effet la fonction $x\mapsto \arctan(x)+\arctan(\frac 1x)$ est définie sur l'ensemble des réels non nuls $\mathbb R^*$.
Amicalement
[small]p[/small]appus 83678

Tyoussef · January 2019

Ok les choses deviennent intéressantes. On ferait mieux de tout écrire sur un article et mettre nos noms en bas :-D

Tyoussef · January 2019

$@ fm\_31$
Votre $x$, je ne le vois pas ??
En fait il y a un abus de langage où $x$ est la fois une distance et un angle ??
Amicalement.

Tyoussef · January 2019

$@pappus$
Wawoo B-)-

Tyoussef · January 2019

$@fm\_31$
Dans ta figure aussi $x$ ne dépasse pas $1$, regarde à gauche !
Amicalement.

gerard0 · January 2019

Pappus et Fm_31, vous pouvez voir ce fil sur un autre forum

Cordialement.

fm_31 · January 2019

Tyoussef a écrit:

Dans ta figure aussi x ne dépasse pas 1, regarde à gauche !

J'ai beau regarder à droite et à gauche je ne vois aucune limite à x sur mon schéma .

Tyoussef · January 2019

$@fm-31 $
:-D , Regardez la hauteur du cercle , vaut 1 , à gauche , et ton $x$ ne la ne dépasse pas , donc $ x<1 $, Si je n'ai pas fait de faute

Tyoussef · January 2019

$@ gerard0 $

Moi je propose que les réponses , sur tout les repenses de $fm-31 $ et $pappus$ , soit posé sur le forum de M@TH en Ligne , mais je ne peux pas le faire chaque payé et chaque forum est respecté , plus je suis inscrit ici 5 ans , la bas , plus de 5 ans , et autres .

Tyoussef · January 2019

$fm-31$

8-) 8-) Tout ce qui rentre dans le cercle trigonométriques ne dépasse pas 1 , à cause du rayon non ??

Amicalement

pappus · January 2019

Bonjour Tyoussef
Sur ma dernière figure, le point $B$ n'est pas situé sur le cercle trigonométrique, (le seul cercle qui nous reste encore sans doute très provisoirement), mais a pour coordonnées $(1,x)$ où $x$ peut prendre toutes les valeurs non nulles et on peut avoir comme sur ma figure $x>1$.
Amicalement
[small]p[/small]appus

fm_31 · January 2019

Tyoussef a écrit:

Tout ce qui rentre dans le cercle trigonométriques ne dépasse pas 1

L' x qui figure sur le schéma n'est pas dans le cercle trigonométrique . 83686

Tyoussef · January 2019

$@ fm-31 $

Oui , je sais , mais il est en bas de $1$ , dans la droite de la tangente.

Alors , pour continuer , le $u$ , se n'ai pas la $cotg(x)$,

fm_31 · January 2019

Il se peut que tu confondes certaines choses.
Dans Atan(x) x est un réel sans unité (quotient de deux réels) pouvant prendre les valeurs de - à + l'infini.
Dans cotg(x) x est aussi un réel mais son unité est le degré ou le radian. C'est un angle ou un arc.

Et jusqu'à maintenant personne n'avait évoqué la cotg (x)