Volume d'une sphère intersectée dans un cube

Un premier et dernier up sur ce problème de géométrie / analyse.

Merci de ton aide GBZM.

Dans ce cas le volume de l'intersection vaut bien sûr $1$. Pour voir si cela fournit un contre-exemple au premier énoncé il faudrait comparer le ratio entre la fonction $V(n) = \dfrac{(\sqrt{\pi n})^n}{\Gamma(n/2 +1)2^n}$ et $2^{n-1}$. En tout cas en dimension $n=2$ on doit comparer $\pi/2$ avec $2$ et $\pi/4 < 1$ donc il n'y a pas de souci.

Il nous faut vérifier si $\dfrac{2(\sqrt{\pi n})^n}{\Gamma(n/2 +1)4^n}$ est bien plus petit que $1$. Je ne connais pas trop les relations asymptotiques sur $\Gamma$, mais a priori ça se comporte comme $(n/2)!$ c'est-à-dire comme $n^n$. Et le numérateur varie plutôt comme $\sqrt{n}^n$. Donc asymptotiquement on a le ratio qui devrait tendre vers $0$, ce qui semble compatible avec mon premier énoncé.

Et dans tous les cas la deuxième question reste entière, est-ce qu'on a bien $c_n = \inf \left\{\dfrac{\lambda(B_{[x,y]} \cap [0,1]^n)}{ \Vert x-y\Vert_2^n} \mid x,y \in [0,1]^n, x\neq y\right\} > 0$ ?

Le cas de la grande diagonale nous indique juste que $c_n \leq \dfrac{1}{\sqrt{n}^n}$.