Variété différentiable

poli12
poli12
dans Géométrie
Bonjour. J'aimerais savoir quand est-ce que deux champs de vecteurs sur une variété différentiable sont f-liés.

Réponses

  • pappus
    pappus
    Mon cher Poly12
    Peux-tu nous rappeler la définition de la $f$-liaison à défaut de nous dire ce qu'est un champ de vecteurs?
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • poli12
    poli12
    Un champ de vecteurs est une section du fibré tangent de cette variété. Et je ne sais pas la définition de $f$-liaison. Mais j'ai vu que deux champs $X$ et $Y$ sont $f$-liés si $f_*X=Y\circ f$. Bref je viens de le voir en ligne mais pas dans mon cours.
    Une autre préoccupation.
    Je sais calculer $f_*t$ ( ou $t$ est un tenseur) lorsque $f$ est un isomorphisme. Mais je ne sais pas le faire lorsque c'est un difféomorphisme non linéaire. Puis je avoir des éclaircissements dessus ? Merci.
  • poli12
    poli12
    Comme exemple j'ai le tenseur $t=dx\otimes \frac{\partial}{\partial y}$ je veux calculer $f_*t.$ Avec $f:(\mathbb R_+)^2\to (\mathbb R_+)^2$ tel que $f(x,y)=(x^2,y^2)$.
  • pappus
    pappus
    Bonjour
    Si j'ai bien compris, tu veux transformer un tenseur de type $(1,1)$ donné par ses composantes dans une carte locale.
    Le mieux est de revoir ton cours d'analyse tensorielle où cette définition doit être donnée!
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
    PS
    Ton difféomorphisme $f$ va de $(\mathbb R_+^*)^2$ dans lui même $(\mathbb R_+^*)^2$ .
  • poli12
    poli12
    Bref mon problème est surtout de savoir si
    $f_*t=df_*t$ lorsque $t$ n'est pas un difféomorphisme.
  • pappus
    pappus
    Bonjour Poli12
    Un tenseur $t$ qui serait ou non un difféomorphisme?
    Sais-tu au moins de quoi tu parles?
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • poli12
    poli12
    Je m'excuse je voulais dire si $f$( et non $t$) est un difféomorphisme non linéaire ( et non n'est pas un difféomorphisme).
  • pappus
    pappus
    Bonjour
    La définition de la transformation d'un tenseur par un morphisme $f$ est très générale.
    Un morphisme de variétés n'a pas de vocation spéciale à être linéaire sauf si les variétés intervenantes sont des espaces vectoriels.
    Reporte toi à ton cours sur cette définition.
    Elle fait intervenir l'application linéaire tangente $Tf_x:TV_x\mapsto TV_{f(x)}$ qui, elle, est un isomorphisme linéaire. Il y a des tas de foncteurs à se farcir!
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
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