Distance entre 2 cercles.
Bonjour à tous,
Je cherche à résoudre le problème suivant (cf fichier joint).
J'ai 2 cercles (c1 et c2) dont les coordonnées des centres ((x1,y1) et (x2,y2)) et les rayons (r1 et r2) sont connus.
J'ai un segment de droite AB de longueur d connue.
Je cherche à déterminer les coordonnées des point A (xa,ya) et B (xb,yb) du segment de droite, le point A devant se trouver sur le cercle 1 et le point B devant se trouver sur le cercle 2. Pour l'exemple représenté sur la figure il y a probablement 2 solutions pour le segment AB.
Avec les équations des 2 cercles et la distance d, j'arrive à un système de 3 équations à 4 inconnues, je dois louper un truc ...
Merci pour votre aide.
Je cherche à résoudre le problème suivant (cf fichier joint).
J'ai 2 cercles (c1 et c2) dont les coordonnées des centres ((x1,y1) et (x2,y2)) et les rayons (r1 et r2) sont connus.
J'ai un segment de droite AB de longueur d connue.
Je cherche à déterminer les coordonnées des point A (xa,ya) et B (xb,yb) du segment de droite, le point A devant se trouver sur le cercle 1 et le point B devant se trouver sur le cercle 2. Pour l'exemple représenté sur la figure il y a probablement 2 solutions pour le segment AB.
Avec les équations des 2 cercles et la distance d, j'arrive à un système de 3 équations à 4 inconnues, je dois louper un truc ...
Merci pour votre aide.
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Réponses
je n'ai pas vu de fichier joint mais d'après l'énoncé (ou plutôt l'interprétation que j'en fait) il semblerait que la solution soit l'intersection de deux cercles (donc 0 , 1 ou 2 solutions) .
L'un des cercles est c2 et l'autre un cercle de centre A (sur c1) et de rayon AB
Cordialement
Impossible de comprendre ta question.
Problème d'accent dans le nom du fichier joint. ;-)
L'image dans le post initial pose le problème.
Il n'y a pas de figure[édit : ça y est, elle est apparue, quasi illisible]. Mais si je comprends bien tu dois, connaissant 2 cercles par leurs centres O et P et leurs rayons, trouver un point A sur le premier et un point B sur le deuxième situés à une distance fixée de l'autre.
Tout d'abord, il est évident que si d est supérieur à OP+r1+r2, il n'y a pas de solution. Il y a aussi un minimum pour d si les cercles ne se coupent pas. Ensuite, qu'il y ait une infinité de solutions dans le cas général me semble naturel : en bougeant légèrement le point A, le cercle de centre A et de rayon d coupe encore généralement le deuxième cercle en deux points (*).
Ta réflexion "il y a probablement 2 solutions pour le segment AB" me fait penser que tu n'as pas donné toutes les contraintes.
Cordialement.
(*) J'imagine que tu connais les conditions sur deux cercles de centres et rayons connus pour qu'ils se coupent.
Au lieu de fixer $A$ sur un cercle et $B$ sur l'autre, procédons de la façon suivante : on fixe $A$ sur le premier cercle $C(O_1,r_1)$ et on trace le cercle $C(A,d)$. Il arrive que ce cercle coupe le cercle $C(O_2,r_2)$ ; en général, si c'est le cas, il y a deux points d'intersection $B$ et $B'$. En faisant varier $A$, il y a (jusqu'à) deux familles à un paramètre de solutions.
C'est un système à un degré de liberté.
Tu devrais expliquer plus en détail d'où te vient ton problème.
C'est vrai que ma description du problème manque de précisions et contraintes.
Je vais prendre le temps de décrire le système dans sa globalité : c'est une résolution mathématique d'un système mécanique.
Je reviens avec cette description ASAP.
Je reviens avec une contrainte supplémentaire : l'angle en B noté bêta entre le segment AB et le segment BO2 est constant et connu (liaison mécanique rigide en B entre le segment AB et le segment BO2).
Le problème est de déterminer pour une position donnée souhaitée du point B (xb,yb) les coordonnées des 2 cercles C1 et C2 ((x1,y1) et (x2,y2)) avec les données connues suivantes :
- Les coordonnées du point B sont (xb,yb)
- Le rayon du cercle C1 est r1
- Le rayon du cercle C2 est r2
- Le segment AB a une longueur d
- L'angle bêta entre AB et BO2 est connu
Je suppose que si il existe une solution elle est unique ?
Merci.
Réfléchis : tu peux tourner comme tu veux l'ensemble (rigide) des deux barres $AB$ et $O_2B$ autour du point $B$, et ensuite tu peux tourner comme tu veux la barre $O_1A$ autour de $A$.
Bref, ça ne va plus du tout.
Je pense que tu ferais mieux de décrire précisément ton système mécanique dans sa globalité, comme tu annonçais en avoir l'intention. Là, tu as des problèmes de modélisation.
Et donc on peut déterminer le point A comme intersection de 2 cercles .
J'espère que la figure vous permettra de mieux comprendre.
C'est un système mécanique à deux roues excentrées qui portent 2 bras, chaque bras pouvant tourner autour de la roue excentrée correspondante.
Le problème est de déterminer (si la solution existe) pour une position donnée souhaitée du point B (xb,yb) les angles d'excentrage à fixer (Théta 1 et 2 sur la figure) donc indirectement les coordonnées des 2 cercles C1 et C2 ((x1,y1) et (x2,y2)) avec les données connues suivantes :
- Les coordonnées du point B sont (xb,yb)
- Le rayon du cercle C1 est r1
- Le rayon du cercle C2 est r2
- La distance d'excentrage des roues est e
- Le segment AB a une longueur d
- L'angle bêta entre AB et BO2 est connu
- Les axes d'excentrage ont des coordonnées fixes sur le repère : (-L/2,H) pour la roue 1 et (L/2,H) pour la roue 2
- Le bras 1 est en liaison pivot avec la roue 1 (roulement) et la bras 2 avec la roue 2
- Liaison pivot en A
Merci encore.
Connaissant ces coordonnées , on en déduit l'angle téta2 = Atan((y(O2) - H) / (x(O2) - L/2))
On procède de même pour téta1
Ces calculs sont un peu longs mais assez simples (voir démonstration détaillée ici )
En résumé , pour deux cercles centrés respectivement en (x1,y1) et (x2,y2) et de rayon r1 et r2 , l'équation à résoudre est a x² + b x + c = 0
avec :
dx = x2 - x1
dy = y2 - y1
N = (r1² - r2² - x1² + x2² - y1² + y2²) / (2 dy)
a = (dx / dy)² + 1
b = 2 (y2 - N) dx/dy - 2 x2
c = x2² + y2² + N² - r2² - 2 y2 N
(sauf erreurs de recopie)
@GaBuZoMeu : merci également pour ta figure qui recoupe bien avec les explications de fm_31.
Bon week-end à vous 2.