Une somme d'ellipsoïdes est un ellipsoïde
dans Géométrie
Bonjour à tous
Je bloque sur un petit problème d'algèbre linéaire.
On définit un ellipsoïde comme l'image de la boule unité pour la norme 2 dans $\R^n$, qui sera dans la suite l'espace ambiant.
On a le fait suivant. Soit $\mathcal{E}$ et $\mathcal{F}$ des ellipsoïdes. Alors $\mathcal{E} +\mathcal{F}$ est un ellipsoïde ssi ces deux derniers sont positivement proportionnels. La somme est une somme de Minkowski.
Si on suppose que les deux sont proportionnels $\mathcal{E}=\lambda \mathcal{F}$ alors on trouve que $\mathcal{E} +\mathcal{F}=(\lambda +1)\mathcal{F}$.
Pour la réciproque je suis un peu à court d'idées. On pose $\lambda=\min\{s>0 \mid \mathcal{E} \subset s\mathcal{F} \}$. Si on suppose que l'inclusion est stricte je me suis dit qu'on devrait tomber sur une contradiction avec le théorème de séparation de HB, mais j'ai retourné ça dans tous les sens et je ne trouve rien d'intéressant. Si quelqu'un a une piste je suis preneur !
Bonne journée à vous et merci d'avoir lu !
[Ellipsoïde est du genre masculin. http://www.cnrtl.fr/definition/ellipsoïde AD]
Je bloque sur un petit problème d'algèbre linéaire.
On définit un ellipsoïde comme l'image de la boule unité pour la norme 2 dans $\R^n$, qui sera dans la suite l'espace ambiant.
On a le fait suivant. Soit $\mathcal{E}$ et $\mathcal{F}$ des ellipsoïdes. Alors $\mathcal{E} +\mathcal{F}$ est un ellipsoïde ssi ces deux derniers sont positivement proportionnels. La somme est une somme de Minkowski.
Si on suppose que les deux sont proportionnels $\mathcal{E}=\lambda \mathcal{F}$ alors on trouve que $\mathcal{E} +\mathcal{F}=(\lambda +1)\mathcal{F}$.
Pour la réciproque je suis un peu à court d'idées. On pose $\lambda=\min\{s>0 \mid \mathcal{E} \subset s\mathcal{F} \}$. Si on suppose que l'inclusion est stricte je me suis dit qu'on devrait tomber sur une contradiction avec le théorème de séparation de HB, mais j'ai retourné ça dans tous les sens et je ne trouve rien d'intéressant. Si quelqu'un a une piste je suis preneur !
Bonne journée à vous et merci d'avoir lu !
[Ellipsoïde est du genre masculin. http://www.cnrtl.fr/definition/ellipsoïde AD]
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Réponses
Demonstration
Etape 1; cas $n=2, \ A=I_2,\ B=\mathrm{diag }(a,b).$ Alors $E_B$ est l'interieur de l'ellipse d'equations parametriques
$M(t)=(x(t)=a\cos t,\ y=b\sin t)$ et $E_A$ est le disque unite. La tangente a l'ellipse au point
$M(t)$ a pour direction $x'(t)=-a\sin t, y'(t)=b\cos t$ et la normale $N(t)$ exterieure a l'ellipse au point $M(t)$ de longueur 1 est $ N(t)=(bQ(t)\cos t, aQ(t)\sin t)$ avec $Q(t)=(b^2\cos^2t+a^2\sin^2t)^{-1/2}.$ Si $E_A+E_B=E_C$ est l'interieur d'une ellipse, alors $C=\mathrm{diag}(a+1,b+1)$ et $t\mapsto M(t)+N(t)$ est une representation parametrique de l'ellipse
$$\frac{x^2}{(a+1)^2}+\frac{y^2}{(b+1)^2}=1$$ et donc pour tout $t$ on a
$$\left(\frac{a+bQ(t)}{a+1}\right)^2\cos ^2t+\left(\frac{b+aQ(t)}{b+1}\right)^2\sin^2t=1$$
Si $a\neq b$ un calcul assommant montre que cette egalite est fausse quand $t=\pi/4$.
Etape 2; cas $ \ A=I_n,\ B=\mathrm{diag }(b_1,\ldots,b_n).$ Si $E_A+E_B=E_C$ montrons que $ b_1=\ldots=b_n.$ Sinon supposons sans perte de generalite que $b_1\neq b_2.$ On considere alors l'ellipsoide intersection de $E_C$ et du plan $x_3=\ldots=x_n=0$ et l'etape 1 donne la contradiction $b_1=b_2.$
Etape 3: cas general. Posons $R=A^{1/2}$ et $B_1=R^{-1}BR^{-1}$ et supposons sans perte de generalite que $B_1$ est diagonale. Reste a observer que
$$RE_AR=E_{I_n},\ RE_BR=E_{B_1}, E_{I_n}+E_{B_1}=E_{RCR}$$ L'etape 2 montre que $B_1=cI_n$ et donc $B=cA.$
Je crois que j'aurais chercher encore longtemps avant de penser à utiliser la représentation paramétrique en dimension 2.
alors les rayons de cette ellipse sont donc $a+1$ et $b+1$ où $a$ et $b$ sont les rayons de $\mathcal{E}$.
Pour $K$ un corps convexe on note $K^{\circ}=\{y \mid\, <x,y>\, \leq 1, \, \forall x \in K\}$ son polaire (en fait c'est la dualité pour les normes traduites dans les corps convexes via la bijection qui envoie une norme sur sa boule unité), on a $(B_2^n)^{\circ}=B_2^n$, et $(SB_2^n)^{\circ}=S^{-1}B_2^n$ pour tout $S \in GL_n(\R)$. On note aussi $\|x\|_K=\inf\{t>0\mid x \in tK\}$, qui est l'unique norme pour laquelle $K$ est la boule unité. On a donc $\|x\|_{K^{\circ}}=\max_{y \in K}<x,y>$.
Pour $s,t$ des réels entre 0 et 1 (au sens large) on a $\|(s,t)\|_{(B_2^n)^{\circ}+\mathcal{E}^{\circ}}=\|(s,t)\|_{\mathcal{E}^{\circ}}+\|(s,t)\|_{B_2^n}$.
Si on prend $s=t=1$ cette égalité ce réécrit $\sqrt{2}+\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{(1+a)^2+(1+b)^2}$ et en 3 lignes de calculs (on élève 2 fois au carré) il vient $(a-b)^2=0$.