Une somme d'ellipsoïdes est un ellipsoïde

Si $A$ est une matrice d'ordre $n$ definie positive, on considere l'ellipsoide $$E_A=\{x\in \R^n\; \ x^TA^{-1}x\leq 1\}.$$ Proposition: Il existe $C$ tel que $ E_A+E_B=E_C$ si et seulement si il existe $c>0$ tel que $B=cA.$

Demonstration

Etape 1; cas $n=2, \ A=I_2,\ B=\mathrm{diag }(a,b).$ Alors $E_B$ est l'interieur de l'ellipse d'equations parametriques
$M(t)=(x(t)=a\cos t,\ y=b\sin t)$ et $E_A$ est le disque unite. La tangente a l'ellipse au point
$M(t)$ a pour direction $x'(t)=-a\sin t, y'(t)=b\cos t$ et la normale $N(t)$ exterieure a l'ellipse au point $M(t)$ de longueur 1 est $ N(t)=(bQ(t)\cos t, aQ(t)\sin t)$ avec $Q(t)=(b^2\cos^2t+a^2\sin^2t)^{-1/2}.$ Si $E_A+E_B=E_C$ est l'interieur d'une ellipse, alors $C=\mathrm{diag}(a+1,b+1)$ et $t\mapsto M(t)+N(t)$ est une representation parametrique de l'ellipse
$$\frac{x^2}{(a+1)^2}+\frac{y^2}{(b+1)^2}=1$$ et donc pour tout $t$ on a
$$\left(\frac{a+bQ(t)}{a+1}\right)^2\cos ^2t+\left(\frac{b+aQ(t)}{b+1}\right)^2\sin^2t=1$$
Si $a\neq b$ un calcul assommant montre que cette egalite est fausse quand $t=\pi/4$.

Etape 2; cas $ \ A=I_n,\ B=\mathrm{diag }(b_1,\ldots,b_n).$ Si $E_A+E_B=E_C$ montrons que $ b_1=\ldots=b_n.$ Sinon supposons sans perte de generalite que $b_1\neq b_2.$ On considere alors l'ellipsoide intersection de $E_C$ et du plan $x_3=\ldots=x_n=0$ et l'etape 1 donne la contradiction $b_1=b_2.$



Etape 3: cas general. Posons $R=A^{1/2}$ et $B_1=R^{-1}BR^{-1}$ et supposons sans perte de generalite que $B_1$ est diagonale. Reste a observer que
$$RE_AR=E_{I_n},\ RE_BR=E_{B_1}, E_{I_n}+E_{B_1}=E_{RCR}$$ L'etape 2 montre que $B_1=cI_n$ et donc $B=cA.$

Utiliser la formule de Steiner Minkowski pour un convexe compact $C$ du plan ( aire (C+tB)=aire C+t perimetre de C +t$^2\pi$, $B$ etant le disque unite) donne une demonstration plus courte de l'etape 1 si $C$ est limite par l'ellipse de grands axes $ 2a$ et $2b.$ Car si $C+tB$ est limite par une ellipse de grands axes $2( a+t)$ et $2(b+t)$ alors le perimetre de $C$ est $$\frac{1}{t}\pi((a+t)(b+t)-ab-t^2)=\pi(a+b)$$ Et si $a\neq b$ ce n'est certainement pas le perimetre de l'ellipse! Mais cette belle demonstration est incomplete car la formule de Steiner-Minkowski n'est valable que pour $t$ petit..