Sous-variété
Bonjour
J'attaque le cours sur les sous-variétés de ${\bf R}^n$, et j'aurais souhaité savoir comment montrer que le cercle unité ${\bf S}^1\subset {\bf R}^2$ est une sous-variété de dimension $1$ de ${\bf R}^2$ de classe ${\scr C}^\infty$, et ceci en utilisant la définition que j'ai eu pour le moment.
1. On dit qu’une partie $V \subset {\bf R}^n$ est lisse de dimension $ 0 \le d\le n $ et de classe ${\scr C}^p$, $p\in {\bf N}^* \cup \{\infty\}$, en un point $a\in V$ s’il existe un difféomorphisme $\varphi $ de classe ${\scr C}^p$ d’un voisinage ouvert $ U \subset {\bf R}^n$ de $a$ sur le voisinage ouvert $\varphi(U) \subset {\bf R}^n$ de $0$ qui transforme $U$ en un ${\bf R}$-espace de dimension $d$, c’est-à-dire $\varphi (V\cap U)=V' \cap \varphi (U)$ avec $V'={\bf R}^d\times \{0\}$.
2. On dit alors que $V$ est une sous-variété de dimension $d$ de ${\bf R}^n$ de classe ${\scr C}^p$ si $V$ est lisse de dimension $d$ et de classe ${\scr C}^p$ en chacun de ses points.
De mon côté, j'ai commencé par essayer de montrer que ${\bf S}^1$ est lisse en $p=(0,1)$ en considérant comme voisinage $B(p,\sqrt 2)$ et l'application $\varphi(x,y)=(x,y-\sqrt{1-x^2})$. Mais je ne suis pas sûr...
Disons qu'intuitivement il me semble clair que le but est de transformer ${\bf S}^1 \cap B(p,\sqrt 2)$ en intervalle ouvert $]-1,1[$ de $\bf R$ mais c'est dur à formaliser.
Cordialement,
J'attaque le cours sur les sous-variétés de ${\bf R}^n$, et j'aurais souhaité savoir comment montrer que le cercle unité ${\bf S}^1\subset {\bf R}^2$ est une sous-variété de dimension $1$ de ${\bf R}^2$ de classe ${\scr C}^\infty$, et ceci en utilisant la définition que j'ai eu pour le moment.
1. On dit qu’une partie $V \subset {\bf R}^n$ est lisse de dimension $ 0 \le d\le n $ et de classe ${\scr C}^p$, $p\in {\bf N}^* \cup \{\infty\}$, en un point $a\in V$ s’il existe un difféomorphisme $\varphi $ de classe ${\scr C}^p$ d’un voisinage ouvert $ U \subset {\bf R}^n$ de $a$ sur le voisinage ouvert $\varphi(U) \subset {\bf R}^n$ de $0$ qui transforme $U$ en un ${\bf R}$-espace de dimension $d$, c’est-à-dire $\varphi (V\cap U)=V' \cap \varphi (U)$ avec $V'={\bf R}^d\times \{0\}$.
2. On dit alors que $V$ est une sous-variété de dimension $d$ de ${\bf R}^n$ de classe ${\scr C}^p$ si $V$ est lisse de dimension $d$ et de classe ${\scr C}^p$ en chacun de ses points.
De mon côté, j'ai commencé par essayer de montrer que ${\bf S}^1$ est lisse en $p=(0,1)$ en considérant comme voisinage $B(p,\sqrt 2)$ et l'application $\varphi(x,y)=(x,y-\sqrt{1-x^2})$. Mais je ne suis pas sûr...
Disons qu'intuitivement il me semble clair que le but est de transformer ${\bf S}^1 \cap B(p,\sqrt 2)$ en intervalle ouvert $]-1,1[$ de $\bf R$ mais c'est dur à formaliser.
Cordialement,
Réponses
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Bonjour un_kiwi
Ton $\varphi$ tel que tu l'as défini est-il, oui ou non, un difféomorphisme?
Si oui, quel est son difféomorphisme inverse?
Sur quelle partie de $\mathbb R^2$ la plus grande possible pour l'inclusion reste-t-il un difféomorphisme?
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Salut,
Tu sembles pourtant très bien parti. Tu as juste choisi un ouvert un peu trop grand : $B(p,\sqrt 2)$ contient par exemple les points de coordonnées $(x,1)$, avec $-\sqrt{2}<x<-1$, pour lesquels la fonction $\varphi$ n'est pas définie (racines carrées de nombres négatifs).
Personnellement, j'aurais simplement pris $U=\left]-1;1\right[\times\mathbf{R}^+_*$.
Il ne te reste plus qu'à montrer que $\varphi$ est un difféomorphisme de classe $\mathscr{C}^\infty$ de $U$ sur son image. Tu peux même remarquer que cet ouvert $U$ contient tous les points de $\mathbf{S}^1$ d'ordonnée strictement positive, et donc que $\mathbf{S}^1$ est lisse de classe $C^\infty$ en chacun de ces points.
Concernant le fait que $\varphi$ soit un difféomorphisme de classe $\mathscr{C}^\infty$, tu peux même faire mieux en montrant un résultat plus général : si $U$ est un ouvert de $\mathbf{R}^2$ dont la projection sur $\mathbf R$ (premier facteur) est un intervalle $I$ et que $f\colon I\rightarrow\mathbf{R}$ est de classe $\mathscr{C}^p$, avec $p\in\mathbf{N}\cup\{\infty\}$, alors $\varphi\colon U\rightarrow\mathbf{R}^2$, définie pour tout $(x,y)$ de $U$ par $\varphi(x,y)=(x,y-f(x))$ est un difféomorphisme de classe $\mathscr{C}^p$ de $U$ sur l'ouvert $V=\varphi(U)$.
L'injectivité de $\varphi$ est facile à démontrer, le caractère $\mathscr{C}^p$ aussi, il ne reste plus qu'à démontrer que la différentielle est inversible en tout point $(x,y)$ de $U$ pour utiliser le théorème d'inversion globale et conclure ! -
Oui, je me demandais justement si l'on pouvait généraliser comme vous l'avez fait. Cela dit, ici cela marche si l'on peut exprimer $y$ en fonction de $x$, mais qu'en est-il si l'on ne peut pas ?
Ici on est obligé de traiter deux cas : le cas où $y>0$ (resp. $y<0$) et le cas où $x=1$ et $y=0$ et $x=-1$ et $y=0$, non ?
En fait une sous-variété de dimension 1 est une courbe ? Une sous-variété de dimension 2 est une surface ? Une sous-variété de dimension 3 est un volume ? -
Bonjour
Avec le choix de Philippe:
$\varphi:(x,y)\mapsto (x,y-f(x))$, alors $\varphi^{-1}:(x,y)\mapsto (x,y+f(x))$, il n'y a pas besoin d'appliquer le théorème d'inversion globale?
Amicalement
[small]p[/small]appus -
En effet pappus, le théorème d’inversion globale ne sert à rien. Bien vu !
@un_kiwi : Vu comme tu es parti, il semblerait effectivement qu’il faille traiter tous ces cas, mais peut-être faut-il envisager d’autre façon de « projeter » le cercle sur l’axe des abscIsses pour avoir moins de cas à traiter !
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