Optimisation de l’aire d’une parcelle
dans Géométrie
Bonjour,
Si on a une route formée de deux droites parallèles, et une corde de longueur L, quelle est l’aire la plus grande qu’on peut former entre cette corde et la route si les extrémités de la corde sont attachées à l’extrémité de la chaussée de la route ?
J’ai utilisé un produit scalaire en nommant u=(x,y) où x est l’abscisse d’un point de la corde et y son ordonnée mais ça ne mène à rien, idem pour les coordonnées polaires.
En fait comment exprimer cette aire ?
Si on a une route formée de deux droites parallèles, et une corde de longueur L, quelle est l’aire la plus grande qu’on peut former entre cette corde et la route si les extrémités de la corde sont attachées à l’extrémité de la chaussée de la route ?
J’ai utilisé un produit scalaire en nommant u=(x,y) où x est l’abscisse d’un point de la corde et y son ordonnée mais ça ne mène à rien, idem pour les coordonnées polaires.
En fait comment exprimer cette aire ?
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Sans un dessin, on n'est pas sûr de l'interprétation de l'énoncé. Aussi, on ne sait pas si la route se croise...
Une formulation avec Lagrange devrait résoudre ce problème. On se place dans le plan cartésien $(x,y)$ ; on note $f$ la courbe de la route entre les points d'abscisses $a$ et $b$ qui représentent aussi l'endroit où les droites parallèles coupent la route, puis on note $g$ la courbe de la corde de longueur $L$ entre les points d'abscisses $a$ et $b.$ On exprime l'aire algébrique entre $f$ et $g.$ On exprime que la longueur de la courbe $g$ est $L.$ On écrit la fonction à optimiser avec un multiplicateur de Lagrange. On déroule le calcul... et on trouve une courbe pour $g$ : ce n'est pas trop con, donc ça pourrait bien être ça...
Tu ne voudrais pas faire un dessin (éventuellement à la main sur une feuille que tu photographierais ?) ?
YvesM. ouais je pense que c’est ça. L’aire algébrique je n’arrive pas à l’exprimer, c’est celle en coordonnés polaires ? Je vais regarder ce que c’est un multiplicateur de Lagrange.
Math Coss. Exprimer l’aire sous forme d’un produit scalaire ça le permet de la majorer peut être avec Cauchy Schwartz
La photo est en pièce jointe.
Je ne vois pas comment exprimer l'aire entourée par une courbe par un produit scalaire.
A priori, la réponse pourrait être un demi-disque (de diamètre $L/\pi$). Ou pas.
Comment on peut exprimer cette aire sinon ?
Pour définir le problème il faut donner la distance entre les extrémités fixes de la corde. Peut-on optimiser cette distance ou est-elle imposée ? Sinon, dans les livres ils écrivent souvent que l’aire sous une courbe est donnée par l’intégrale de la fonction, un truc incompréhensible mais qui peut servir ici.
La distance entre les extrémités n’est pas imposée,
Ouais mais pour la définir comme l’integrale d’une fonction, il faut que la courbe n’ait pas deux images par un même antécédent et la çà peut être le cas.
Non, ça ne peut pas. Démontre le. Fais des dessins pour t’aider.
Guillaume, nous as-tu tout dit de ton énoncé? Si oui, je ne comprends pas ton $\frac{\pi}{3}$. En effet, si les points ($A$ et $B$) d'attache de ta "corde" ( je dirai "ficelle" désormais car le mot "corde" a un sens particulier en maths lorsqu'on parle de cercles et on va parler de cercles) si, disais-je, $A$ et $B$ sont confondus, il est connu (la démonstration n'est pas évidente) que ta ficelle doit former un cercle tangent au bord de ta route pour que ta parcelle soit d'aire maximale. La tangente au cercle fait donc alors un angle nul avec la route.
Ta ficelle doit bien former un des deux arcs de cercles de longueur $L$ qui passent par $A$ et $B$. Sauf erreur, en utilisant le résultat connu que j'ai dit, tu peux t'en sortir de façon purement logique; si la ficelle n'était pas l'arc de cercle précédent, alors...
Cordialement
Paul
Paul : si la ficelle n’est pas l’arc de cercle précédent, alors c’est l’autre. Je prends mon arc de cercle qui fait un angle de pi/3 avec la route (cf schéma svp) qui est la pseudo solution. Si A et B sont confondus, l’aire maximale est le cercle tangent.
Mais ce n’est pas le même cercle qu’avec celui qui fait un angle de pi/3. Pourquoi l’aire du cercle tangent est plus grande que l’aire délimitée sur le schéma ?
YvesM : la ficelle est nécessairement concave sinon la « corde » (la vraie) qui lie deux points d’inflexion consécutifs (puisque la ficelle rejoint la route elle redevient concave à un moment et il a deux points d’inflexion minimum), cette corde maximise l’aire et utilise une moins grande longueur de la ficelle. Par contre je n’arrive pas à montrer que ça ne peut pas repasser par la même abscisse, c’est possible d’avoir un indice ?
Si la route est horizontale et le cercle au-dessus, alors on appelle P le point du cercle le plus à gauche. On dessine la perpendiculaire à la route passant par P. La partie de la ficelle à droite et en dessous de P peut être déplacée en faisant glisser vers la gauche le point de contact du cercle et la route : ceci maximise l’aire dans la ficelle : contradiction.
L’aire maximale est obtenue quand on n’en peut plus déplacer le point de contact vers la gauche : c’est donc un point sur le diamètre du cercle.
Le résultat qui est connu, c'est : à partir d'une ficelle de longueur L, si on veut dessiner une surface la plus grande possible, il faut dessiner un cercle.
Ok.
Mais ici, le problème est différent. Pour former notre contour, on a à disposition une droite, qui viendra compléter le contour.
Au lieu de faire un cercle de rayon R, on peut faire un demi-cercle, de rayon 2 fois plus grand. (la longueur de corde nécessaire est la même. Et en faisant ainsi, on trouve une surface 2 fois plus grande qu'avec un cercle.
Et rien ne prouve qu'on ne peut pas faire encore mieux, avec une corde de cercle mieux disposée ($\pi/3$ ?))
YvesM: ouais ça marche ! La solution du pi/3 est fausse alors.
Lourran : yes mais la solution c’est pas pi/3
Ok donc ça revient à maximiser l’intégrale de 0 à 1 de la fonction f qui est la ficelle sachant que f(0)=f(1)=0 !
Le coup du cercle tangent à la route, c'était pour te faire comprendre que ton $\pi$ /3 sortait d'une pochette surprise: rien dans tes messages précédant le mien ne laissait supposer que tu parlais de la très particulière ficelle rouge que tu disposes en arc de cercle rouge.
Sa longueur $L$ est aisément calculable. Tenons-nous en à ton cas particulier, bien que ma remarque soit générale.
Mais avant de poursuivre, admets-tu (ou non) qu' une ficelle donnée délimite une surface d'aire maximale si elle forme un cercle (il n'y a aucune histoire de route, a fortiori de $\pi$ /3 dans cette question)?
Non. Si tu imposes $f(0)=f(1)$, tu imposes une distance non nulle entre les points de contact. Or tu as dit que la distance n’est pas fixée. Elle pourrait bien être nulle comme quand le cercle est tangent à la droite.
Paul: si la ficelle se referme sur elle-même je l’admets que la plus grande aire maximale est le cercle de périmètre L mais si elle ne se referme pas sur elle-meme c’est faux (si c’est vrai je veux bien que tu m’expliques stp), pour calculer la longueur L de la corde j’ai jeté un œil sur http://uel.unisciel.fr/physique/outils_nancy/outils_nancy_ch08/co/apprendre_ch08_14.html, c’est l’integrale De 0 à 1 de la racine de 1 plus la dérivée de f’au carre ou f est la fonction qui définit la courbe représentant la ficelle !
Cette intégrale vaut donc L, et on veut maximiser l’integrale De f de 0 à 1 ! (Si le résultat n’est pas le cercle tout court)
YvesM: oui t’as raison
j'avais mal compris le message originel et cru que les points d'attache de la ficelle étaient donnés.
Cordialement
Paul
je ne vois pas trop le rapport entre ce problème et l'analyse combinatoire ou la théorie des graphes.
Bien cordialement.
kolotoko
Je n'ai pas de démonstration, mais je pense que la surface est maximale lorsqu'on a la ficelle et le bord de la route forment un carré.
En faisant un demi-cercle, on peut faire un demi-cercle de rayon $L/\pi$, et donc de surface $L^2/2\pi$. Soit nettement plus que le carré précédent.
Kolotoko: Je pensais que la théorie des graphes c'était pour les graphes des fonctions mais c'est faux haha, si un administrateur peut la déplacer dans géométrie c'est plus adapté.
En fait, si on montre que c'est un cercle la figure alors ça marche, je connais l'expression de f qui est racine de 1-x^2 et je peux utiliser les contraintes genre l'intégrale de 0 à 1 de f ect.
Quelqu'un sait montrer que c'est forcément une partie d'un cercle ?
YvesM: les points A et B ne sont pas confondus sinon l'aire vaut L=2piR et l'aire vaut (pi*L^2)/4pi^2, alors que l'aire du demi cercle de périmètre L a pour rayon R=L/pi et aire L^2/pi qui est plus grande !
@guillaume100 : pour démontrer qu'il n'y a pas un point unique de contact entre la ficelle et la route A, tu peux utiliser le raisonnement précédent (mais la ficelle ne forme pas nécessairement un cercle). Pour une forme fermée et finie quelconque, on a un point le plus à gauche P et un le plus à droite Q. En considérant les perpendiculaires à la route par ces points, on note qu'une symétrie par rapport à ces axes conservent la longueur (AP) et (AQ), et maintiennent un point de contact avec la route A devenant A' à gauche et A'' à droite, tout en augmentant la surface prise dans la ficelle. Donc on a au moins deux points de contact : A et B distincts.
Pour la démonstration de la solution optimale, relis mon premier message avec Lagrange. Si tu ne connais pas cette approche, ça va être difficile d'obtenir une démonstration mathématique.
La ficelle de longueur $L$ est attachée en $A$ et $B$; on a bien sûr $AB \leq L$.
Il existe un unique cercle ($ :=C$) passant par $A$ et $B$ tel que l'un de ses deux arcs d'extrêmités $A$ et $B$ ait pour longueur $L$ et n'intersecte pas la route. Cet arc est vert, l'autre est bleu. Il s'agit de montrer que la ficelle rouge doit se confondre avec l'arc vert pour que l'aire de la parcelle soit maximale.
Supposons que la ficelle rouge entoure une plus grande parcelle que celle bordée par la route et l'arc vert. Alors le contour formé par la ficelle rouge et l'arc bleu aurait la même longueur que la circonférence du cercle $C$ et délimiterait un surface d'aire supérieure à celle du disque de frontière $C$. C'est absurde.
Cordialement
Paul
Sur le seul dessin qui nous a été fourni, on voit que la largeur de la route ne sert à rien
C'est visiblement un problème du calcul des variations relatif à l'inégalité isopérimétrique.
Il suffit de faire une symétrie par rapport au bord de la route concerné.
Le maximum est donc atteint pour un demi-cercle orthogonal au bord de la route!
Amicalement
[small]p[/small]appus
YvesM, la démonstration marche aussi merci. Je vais regarder la méthode des multiplicateurs de Lagrange là pour voir plus clair.
Depasse: Ouais ça marche ! Donc cette ficelle forme forcément un arc de cercle et je connais l'équation de la fonction f dont la courbe représente la ficelle. L'équation de f c'est celle d'un arc de cercle. Il s'agit de maximiser trouver l'arc de cercle qui maximiser l'intégrale de 0 à 1 sachant que l'intégrale de la racine carré de 1 plus la dérivée de au carré vaut L!
Est-ce que la méthode de Lagrange elle aurait marchée sans savoir comment exprimer l'aire : c'est à dire qu'on l'exprime comme l'intégrale d'une certaine fonction f dont on ne sait pas l'expression ?
Je ne pense pas que la méthode de Lagrange marche ici.
C'est une technique utilisée pour un nombre fini de variables liées par un nombre fini de relations.
Ici nous avons affaire à un problème d'analyse fonctionnelle qui ressort du calcul des variations!
Est-il encore enseigné?
Amicalement
[small]p[/small]appus
@pappus : je me réfère au calcul des variations et aux équations d’Euler-Lagrange avec contrainte... et oui, c’est encore enseigné.
Oui je connais la théorie!
Mais il fallait quand même préciser que c'était du calcul des variations pour éviter toute ambiguïté.
Dans ce cas, elle marche très bien!
Mais on peut éviter la difficulté due aux extrémités de la corde en faisant la symétrie dont j'ai parlé.
On est ainsi ramené au problème isopérimétrique classique.
Amicalement
[small]p[/small]appus
Merci pour vos explications j'ai regardé la méthode de Lagrange.
Il s'agit maintenant de maximiser $\int_{0}^{1} f(x) \, \mathrm{d}x $ sachant que $\int_{0}^{1} \sqrt{1+f'^2(x)}\, \mathrm{d}x =L.$
Donc avec $G=f(x)-\lambda \sqrt{1+f'^2(x)}$ et là il s'agit de regarder quand la différentielle de $G$ sur $\lambda$ et sur $x$ et égalisée avec 0 pour trouver $\lambda$.
J'obtiens deux équations mais impossible de les résoudre enfin j'obtiens $\sqrt{1+f'^2(x)}=0$ en différenciant selon $\lambda$
Y a un truc qui m'a échappé ?
Yves a prouvé que si les points $A$ et $B$ sont optimaux, $A$ est nécessairement plus à gauche (sens large) que tout point de ma ficelle rouge et $B$ est nécessairement plus à droite (sens large) que tout point de ma ficelle rouge.
Cela implique que pour que mon arc vert soit optimal, il faut qu'il soit le petit arc (sens large) de $C$. Bien qu'intuitivement je pressente que l'arc vert optimal est celui du cercle $C$ dont $AB$ est le diamètre, j'ai dû employer un laide façon pour le prouver:
$O_x$ est le centre de $C_x$, $R_x$ son rayon; $S_x$ est l'aire de la parcelle enclose par l'arc vert et la route, $x$ étant la mesure de l'angle saillant $A_xO_xB_x$ (saillant car l'arc vert est un petit arc), et on suppose, sans perdre de généralité, que $L=1$.
$x$ appartient donc à $[0,\pi]$, $R_xx=1$ et $S_x=(x-\sin x) \dfrac {R_x^2}{2}$ et donc $S_x=\dfrac{x-\sin x }{2x^2 }$.
Puisque $S_\pi =\dfrac{1}{2 \pi}$, il suffit de montrer que $\dfrac{1}{2 \pi} \geq \dfrac{x-\sin x }{2x^2 }$, i.e.
$f(x):=x^2-\pi x+\pi \sin x \geq 0$.
$f'(x)=2x-\pi +\pi \cos x$,
$f''(x)=2-\pi \sin x$.
Un tableau de variations et c'est fini, mais c'est moche.
Cependant, ça reste élémentaire: on se console comme on peut!
Amicalement
Paul
La proposition de Pappus me semble encore plus élémentaire, si on admet l'inégalité isopérimétrique (plus connu que ce que tu sembles admettre, qui est que la corde est sur un arc de cercle).
Cordialement.
Depasse ouais en plus c'est rapide à faire.
Pappus, je n'ai pas compris la symétrie, pourquoi raisonner sur l'autre côté de la route ?
Cordialement.
Si maintenant on a une aire fixe $A$ et on veut minimiser la longueur de la ficelle, est-ce que ce raisonnement est juste ?
On trace le symétrique de la ficelle une fois construite, par symétrie, cela revient à minimiser l'aire de la surface formée de la réunion des deux figures symétriques.
J'utilise l'inégalité isopérimétrique, à savoir que pour une longueur de ficelle (la ficelle est ici la longueur de la figure plus celle de sa symétrie) $L$, l'aire maximale $S$ est obtenue avec un cercle.
Il est nécessaire d'avoir une longueur de ficelle plus grande que $L$ pour avoir la même aire $S$ sans que cela soit un cercle.
Si $S=A$ et que la figure n'est pas un cercle, la longueur de corde utilisée est plus grande que $L$.
La longueur de ficelle minimale pour avoir $A$ est celle du cercle d'aire $A$ de rayon $\sqrt{A/\pi}$
On obtient alors aussi le demi-cercle de rayon $\sqrt{A/\pi}$