Un cube clair-obscur

soland
soland
dans Géométrie
On colorie les sommets d'un cube en bleu clair ou sombre,
de manière qu'un ensemble de quatre sommets coplanaires
soit toujours bicolore (le dessin montre un essai raté).
A une rotation près, combien de coloriages de ce type y a-t-il ?83826

Réponses

  • Frédéric Bosio
    Frédéric Bosio
    A isométrie du cube et inversion des couleurs près, il me semble qu'il n'y en a que trois.
  • Frédéric Bosio
    Frédéric Bosio
    L'un est le coloriage biparti du $1$-squelette, les deux autres s'obtiennent à partir de celui-là soit en changeant la couleur d'un sommet, soit en iversant les couleurs des sommets d'une arête.
  • Frédéric Bosio
    Frédéric Bosio
    Je dirais qu'à rotation près il y en a quatre. Le coloriage biparti n'en donne qu'un, celui ou on change la couleur d'un sommet en donne deux (un seul si on s'autorise à inverser les couleurs), et celui où on change les couleurs d'une arète me semble n'en donner qu'un.
  • soland
    soland
    Infra, une configuration chirale 4C - 4F
    Avec son image miroir, ça fait 2 modulo les rotations.

    PS. J'en ai 5 au moins.83840
  • Frédéric Bosio
    Frédéric Bosio
    Effectivement, il m'en manque.
  • Champ-Pot-Lion
    Champ-Pot-Lion
    Il y a 5 classes d'équivalence modulo rotations directes et indirectes et échange des couleurs.

    Si on compte uniquement les rotations directes et pas modulo inversion des couleurs, il y a 7 classes d'équivalence.
                                   +--------------------+----------------------------------+
                               | Rotations directes | Rotations directes et indirectes |
+------------------------------+--------------------+----------------------------------+
| Pas d'inversion des couleurs |        7           |                6                 |
+------------------------------+--------------------+----------------------------------+
| Inversion des couleurs       |        6           |                5                 |
+------------------------------+--------------------+----------------------------------+

    Voici les coloriages modulo rotations directes, indirectes et inversion des couleurs. Modulo rotations directes et indirectes, le premier n'est pas équivalent à sa copie en inversant les couleurs. Modulo rotations directes et inversion des couleurs, le deuxième n'est pas équivalent à son image miroir.83852
    83850
    83854
    83856
    83858
  • Eric
    Eric
    Cela relève-t-il du lemme de Burnside et du théorème de dénombrement de Polya ?
  • Champ-Pot-Lion
    Champ-Pot-Lion
    Ainsi que du principe d'inclusion-exclusion, je dirais.
  • soland
    soland
    Merci à tous les participants.

    Je place des boules bleues et laisse des sommets inoccupés.
    Un switch occupe les sommet inoccupés et libère les autres.
    Les cas, d'après mes lumières (idem que Champ-Pot-Lion)

    (1) 4 boules non contiguës, placées aux sommets d'un tétraèdre régulier. Configuration achirale. Le switch redonne la même conf.
    (2) 3 boules non contiguës, obtenues en ôtant une boule de (1). Conf. achirale. Le switch donne la conf. à 5 boules.
    (3) 4 boules dont une contiguë aux trois autres. Conf. achirale. Le switch redonne la même conf.

    LEMME. Deux boules contiguës laissent trois plans inoccupés, Ces plans ont une intersection vide. Voir le dessin.
    COROLLAIRE. Deux boules ne suffisent pas et (2) est la seule conf. à trois boules.

    (4) 4 boules dont une contiguë à deux autres. Configuration achirale. Le switch redonne la même conf.
    (5) et (6) Lignes brisées ouvertes à quatre sommets. Deux conf. ne différant que par leur chiralité. Le swich redonne la même conf. sans changer la chiralité.
    (7) Swich de (2).83892
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