Type de construction
edit : faute d'orthographe à "placées"
Bonjour, et merci d'avance
Comment s'appelle ce type de construction à la règle et au compas ?
$\triangleright~$concernant la règle : elle est non graduée : il est impossible de tracer des segments avec mais uniquement des droites.
$\triangleright~$concernant le compas : il ne fait que uniquement tracer des cercles mais on ne peut tracer un cercle que uniquement si il existe déjà tracés au préalable deux points sur lesquels les pointes de ce compas seront placées.
$\triangleright~$concernant le traçage de points : on ne peut tracer un point que uniquement si il est : 1) ou 2) ou 3)
1)- une intersection de deux droites
2)- une intersection de deux cercles
3)- une intersection d'une droite et d'un cercle
Bonjour, et merci d'avance
Comment s'appelle ce type de construction à la règle et au compas ?
$\triangleright~$concernant la règle : elle est non graduée : il est impossible de tracer des segments avec mais uniquement des droites.
$\triangleright~$concernant le compas : il ne fait que uniquement tracer des cercles mais on ne peut tracer un cercle que uniquement si il existe déjà tracés au préalable deux points sur lesquels les pointes de ce compas seront placées.
$\triangleright~$concernant le traçage de points : on ne peut tracer un point que uniquement si il est : 1) ou 2) ou 3)
1)- une intersection de deux droites
2)- une intersection de deux cercles
3)- une intersection d'une droite et d'un cercle
Réponses
-
Bonjour ,
la terminologie généralement utilisée pour ce type de construction est "à la règle et au compas"
Parfois on précise "règle non graduée"
Mais peut-être que je n'ai pas compris la question .
Cordialement -
Eh bien merci FM31
Tout est donc très clair avec ta réponse -
Les anciens grecs disaient "construction par droite et cercle".
Cordialement. -
Merci Gerard0
Je vais donc dire cela avec la description que j'ai donné. -
On s'interdit donc le transport d'une distance avec le compas (si j'ai bien compris).
Les anglosaxons disent "collapsing compass", les Français ? -
Ah ! effectivement, il ne s'agit pas des constructions "à la règle et au compas", mais d'une procédure plus stricte dont j'ignore le nom.
Dans la construction traditionnelle des points constructibles, on peut tracer tout cercle dont on connaît déjà le centre, et dont le rayon est la distance entre deux points connus. Et évidemment, on part de 2 points distincts dont la distance est l'unité de distance.
Cordialement. -
Bonjour
Personnellement, je n'y comprends rien!
On doit se donner au départ un certain ensemble de points et dire exactement ce qu'on a le droit de faire ou ne pas faire de cet ensemble avec la règle et le compas qu'on utilise!
C'est pour n'avoir pas compris ce règlement que les trisecteurs nous cassent les pieds depuis des siècles!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Bonjour
Si j'ai bien compris les exigences de Sicilia, on ne peut rien faire avec un ensemble $\mathcal F$ de points distincts donnés au départ puisque aucun élément de $\mathcal F$ n'est une intersection de droites ou une intersection de deux cercles ou une intersection d'un cercle et d'une droite?
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Bonjour (encore merci pour votre aide )
effectivement oui c'est bien ce qu'il résulte de ces conditionsSoland : On s'interdit donc le transport d'une distance avec le compas (si j'ai bien compris).
Les anglosaxons disent "collapsing compass", les Français ?
je peux toujours tenter de traduire cela
je suis obligé de donner un nom à ça car toutes mes constructions sont faites comme celaGerard0 : il ne s'agit pas des constructions "à la règle et au compas", mais d'une procédure plus stricte dont j'ignore le nom. -
Deux solutions :
* te lancer dans une étude bibliographique de la géométrie de la règle et du compas, en espérant que tu as à ta disposition une riche bibliothèque de mathématiques et histoire des maths, pour trouver comment ça a pu être appelé.
* donner toi-même un nom (pas le tien, ça fait super-prétentieux), au risque de te faire moquer d'inventer un nom pour quelque chose de "connu".
Dans tous les cas, si tu publies tes conclusions, l'étude bibliographique est nécessaire : Prétendre inventer ce qui est connu depuis des siècles (ces sujets sont étudiés depuis 2000 ans) est une façon de se ridiculiser.
Cordialement. -
edit : faute sur "tenté"
Merci Gerard0
je serais tenté d'appeler ça "construction à la règle et au compas par priorité de la règle"
mais à part ça il n'y a rien à découvrir (et encore moins à construire ce qui est impossible à construire)
Je suis obligé de faire mes constructions selon cette procédure là :
En clair il n'y aura aucune publication -
Il me semble que la seule chose à préciser en plus de règle non graduée est ce que Soland a indiqué en anglais : collapsing compass . Reste à trouver une traduction en français pour cette expression (compas non verrouillable ?) ou la laisser en anglais .
Je crois me souvenir que quelqu'un (Rescassol ?) avait indiqué que toute construction règle compas était réalisable au compas seul .
Un exemple est le problème de Napoléon : trouver le centre d'un cercle au compas seul . Pour cela , le cercle étant donné (sans son centre) , on commence par poser la pointe sèche du compas en un point quelconque du cercle sans préciser comment on construit ce point .... -
Merci FM31
oui effectivement il faut préciser "règle non graduée"
à part ça dans le procédé on ne peut rien construire sans règle mais sans le compas "non verrouillable" on ne peut pas faire grand chose
Par contre là selon cette procédure je peux réaliser quand même des isométries du plan :
Par exemple en partant de six droites d1,d2,d3,d4,d5,d6
d1 et d2 sécants en A
d1 et d3 sécants en B
d2 et d3 sécants en C
et tels que A,B,C soient affinements indépendants (ils forment un triangle non plat)
d4 et d5 sécants en D
d4 et d6 sécants en E
et tels que D et E sont distincts
on peut construire un triangle DFG identique à isométrie près de ABC -
Je traduirais cet exemple plus simplement :
Etant donné un triangle ABC non plat et un segment DE , construire (règle , compas) le (ou les) triangles DEF transformés du triangle ABC par une similitude (directe ou indirecte) -
BonjourFM31 : trouver le centre d'un cercle au compas seul
on part en prenant un cercle et trois points ABC distincts deux à deux de ce cercle
j'ai juste tracé les deux droites en noir pour vérifier mon résultat uniquement et non pour trouver le centre
le centre est le seul point commun aux trois cercles en noir
-
Je ne comprends pas très bien.
Soient $A,B,C$ trois points du plan. Avec une règle non graduée et un "compas non verrouillable", on peut tracer le cercle de centre $A$ et de rayon $BC$. C'est la proposition 2 du livre I d'Euclide.
Alors, quelle différence entre les constructions à la règle non graduée et au compas non verrouillable et les constructions à la règle non graduée et au compas ? -
Bonjour GaBuZoMeu
eh bien dans ce cas il n'y a aucune différence (il s'agit de la première réponse sur ce fil)
je dirais donc règle non graduée et compas non verrouillable juste pour préciser ce que j'ai le droit de faire ou pas -
Oui, GaBuZoMeu, et tu peux tracer avec un deuxième cercle la médiatrice de [AB] puis trouver le milieu I de [AB]. Mais tu n'as pas le droit de tracer le cercle de centre I et de rayon BC, puisque tu n'as que le centre, pas un point à la distance BC de I.
Cependant, par une construction assez évidente, tu pourras construire le symétrique A' de A par rapport à B, puis le milieu J de [BA'], et le cercle de centre I et de rayon BC passe par J, donc est constructible.
Je ne sais pas si finalement, ça réduit tant que ça les points constructibles.
Cordialement. -
ça ne réduit rien Gerard0
on peut faire tout ce qu'il est possible de faire selon l'autre méthode(mais rien de plus évidemment) -
Si tu en as une preuve, pourquoi avoir imposé ça ???
Ce fil devient un peu surréaliste ... -
Non, ce n'est pas la première réponse de ce fil (à moins que fm31 me détrompe et qu'il dise que ce que j'ai expliqué est bien ce qu'il avait en tête quand il a fait cette première réponse).
Ensuite, je ne comprends pas l'intérêt. Une fois qu'on sait pouvoir, avec un compas non verrouillable, construire le cercle de centre $A$ et de rayon $BC$, pourquoi ne pas utiliser cette possibilité ?
Enfin, pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué ? ;-) -
BonjourGerard0 Je ne sais pas si finalement, ça réduit tant que ça les points constructibles.
pense tu à une construction d'un point en particulier qui te semblerai pas constructible selon ce procédé alors qu'il l'est selon le procédé habituel ?
pour l'instant tout ce que j'ai pu faire selon le procédé habituel j'ai pu le faire selon ce procédé mais certes de là à avoir un contre exemple (ou une preuve de la faisabilité) c'est autre chose en ce qui me concerne -
Effectivement le compas verrouillable ne fait que diminuer les étapes de construction quand on a besoin de transposer la longueur d'un segment par exemple .
Le problème de Napoléon a été résolu avec 6 cercles seulement . -
M'enfin !!!
Je répète, puisque tu n'as pas l'air d'avoir compris. Euclide, dans la proposition 2 de son Livre I, démontre qu'avec un compas non verrouillable et une règle non graduée, on peut construire le cercle de centre $A$ et de rayon $BC$. Autrement dit, il démontre qu'on peut faire avec un compas non verrouillable et une règle non graduée tout ce qu'on peut faire avec un compas verrouillable et une règle non graduée. -
Je n'ai pas dit le contraire . J'ai simplement dit que le compas verrouillable pouvait simplifier certaines constructions . Mais je sais qu'il n'est pas indispensable .
-
Mon message s'adressait à sicilia.
Par contre, fm31, est-ce que ta première réponse dans ce fil signifiait ce que j'ai expliqué plus haut ? -
Mais je n'ai pas dit le contraire GaBuZoMeu.
Je suis parfaitement d'accord avec toi (ai-je dit quelque chose qui te laisse penser le contraire ?) -
Ma 1° réponse n'avait d'autre but que d'indiquer l'expression généralement utilisée pour ces constructions (construction règle compas) .
Ensuite j'ai indiqué qu'on pouvait préciser règle graduée ou non et compas verrouillable ou non . -
en ce qui me concerne j'avais dit ça en répondant à Gérard0 et est confirmé par GaBuZoMeu puisqu'il cite la preuve de Euclide (je suis donc d'accord avec lui)ça ne réduit rien Gerard0
on peut faire tout ce qu'il est possible de faire selon l'autre méthode(mais rien de plus évidemment) -
Oui :sicilia a écrit:je suis parfaitement d'accord avec toi (ai-je dis quelque chose qui te laisse penser le contraire?)
(ceci après que j'aie indiqué que la preuve de la faisabilité est dans Euclide !)sicilia a écrit:pour l'instant tout ce que j'ai pu faire selon le procédé habituel j'ai pu le faire selon ce procédé mais certes de là à avoir un contre exemple (ou une preuve de la faisabilité) c'est autre chose en ce qui me concerne -
Je n'allais pas citer Euclide alors que je ne connaissais pas cette preuve GaBuZoMeu (et merci pour cela).
Moralement parlant :
Ai-je le droit de dire que j'ai une preuve de quelque chose à Gerard0 alors qu'elle me tombe sur le bec gratuitement comme ça ?
Toutes les constructions faisables avec la méthode habituelle que je connaissais je pouvais certes les faire avec un compas comme ça (la non possibilité de report de distance avec le compas) mais je ne pouvais pas honnêtement dire que j'avais une preuve de cela quand j'ai ouvert ce sujet. -
Ah, GaBuZoMeu,
je crois qu'on ne s'est pas compris : Euclide accepte de pouvoir tracer un cercle connaissant son centre et son rayon. Il n'exige pas d'avoir préalablement un point connu du cercle :
"Demande 3, Partant d'un point et d'une longueur donnés, on peut toujours tracer un cercle."
Ce qui fait que je m'interrogeais encore sur le fait que cette condition supplémentaire réduise le nombre de points constructibles. Cependant, comme on peut construire le milieu d'un segment, et le symétrique d'un point par rapport à un autre, à partir de A, B et C, on peut construire le milieu I de [AC], puis D le symétrique de B par rapport à I, et ABCD étant un parallélogramme, le cercle de centre A passant par D est le cercle de centre A et de rayon BC.
Donc inutile de rajouter cette condition d'avoir déjà un point sur le cercle.
Cordialement.
NB : Je me suis placé en géométrie euclidienne traditionnelle. -
ce type de construction (compas non verrouillable ) m'oblige quand même à me servir d'une règle (c'est un problème pour moi mais mineur)
par contre reporter une distance avec un compas me pose beaucoup beaucoup plus de problèmes et là au moins je m'épargne ça
Cependant je quitte cette rubrique quelques jours car il faut que je vois si quand on se refuse l'emploi de la règle et que le compas ne permet pas de reporter des distances on arrive à construire ce qu'on arrive à construire dans les constructions "normales avec une règle non graduée et un compas "
J'ai vu que Mr Mascheroni y arrivait avec un compas normal et sans aucune règle mais de ce que j'ai vu il reporte des distances avec un compas
si j'y arrive alors pour faire mes figures je n'aurai qu'une feuille, un stylo et un compas à ressort avec un capteur au bout de la pointe traçante et qui signale au compas de se refermer dès qu'il ne trace pas
il restera alors à régler le problème technique du capteur qui va très certainement revenir cher à construire pour un compas invendable -
Avant de partir
Il y a un truc qui ne vas pas de toute façon avec ce que j'ai fait
Il est interdit de tracer des droites sécantes arbitrairement(tout comme il est interdit de se donner des points dans le plan comme on veut)
En prenant deux points distincts au départ de la construction (et qui va constituer une unité de distance) on a plus le droit par la suite de tracer arbitrairement des droites ou des cercles dont les sécantes vont permettre de tracer des points
En fait si j'ai fait ça c'était pour tracer deux triangles identiques à isomorphisme près selon la règle de construction que j'ai donné mais ça n'a rien à voir avec ce qu'on appelle une construction à la règle et au compas -
@Gerard0 : as tu vraiment regardé le texte d'Euclide ? Si oui, tu aurais vu que sa demande 3 s'applique à tracer le cercle de centre $A$ et de rayon $AB$. Il l'utilise dans la proposition 1 pour tracer un triangle équilatéral sur le segment $[AB]$, et ensuite dans la proposition 2 pour construire un point $D$ tel que $AD=BC$, ce qui permet de tracer le cercle de centre $A$ et de rayon $BC$.
Reporte-toi au texte.
Dans la figure ci-dessous, les cercles sont numérotés dans l'ordre de construction. -
Ok,
dans ce cas, ma traduction d'Euclide est fausse, ou Euclide lui-même a fait une demande plus forte que nécessaire ... En regardant de plus près, effectivement, la construction d'Euclide n'utilise que des cercles donnés par centre et un point.
N'étant pas familier de ces problèmes de "construction à ...", je n'étais jamais allé voir ça de près. Merci de me l'avoir appris.
Cordialement. -
Reprenons.
Le concept fondamental est celui d'objet connu ou semi-connu.
(1) Un point est connu s'il est i) donné, ii) l'intersection de deux droites connues, iii) l'intersection d'une droite et d'un cercle connus ou iv) l'intersection de deux cercles connus. Il est semi-connu s'il appartient à une droite ou un cercle connus.
(2) Une droite est connue i) si elle est donnée ou ii) si elle passe par deux points connus.
(3) Un cercle est connu i) s'il est donné ou ii) si son centre et l'un de ses points sont connus.
Cette liste est extensible (conique, trisectrice...).
Une construction consiste à rendre connus des objets qui ne le sont pas au départ. Les instruments permettent de ce faire.
Les instruments usuels :
(1) Le pointeur, qui rend connu un point arbitraire ou un point semi-connu.
(2) La règle classique (règle-c) qui rend semi-connus les points d'une droite connue.
(3) Le compas classique (compas-c) qui rend semi-connus i) les points d'un cercle connu ou ii) les points x tels que |xc| = |ab| où a, b et c sont des points connus.
Instruments occasionnels :
$-$ Le compas non verrouillable (compas-nv) qui rend semi-connus i) les points d'un cercle connu.
$-$ Le compas rouillé, la règle marquée...
Texte élaboré à la va-vite ce matin, donc discutable et, j'espère, discuté.
Exemple ; Construire le centre d'un cercle C donné.
(1) Choisir deux points a, b sur C (pointeur, deux fois).
(2) Le cercle (a, b) recoupe C en c (compas-nv).
(3) Le cercle (c, a) recoupe (a, b) en d intérieur à C (compas-nv).
(4) La droite bd recoupe C en e (règle-c).
(5) Les cercles (e, c) et (c, e) se coupent en w intérieur à C (compas-nv).
w est le centre cherché.
Mohr (1640-1697) et Mascheroni (1750-1800) ont montré que les constructions (pointeur-compas-c-règle-c) sont les mêmes que les constructions (pointeur-compas-c). L'objectif de Mohr était de produire des cercles gradués hyperprécis.
Les constructions (pointeur-compas-c) sont les mêmes que les constructions (pointeur-compas-nv).
Voici la construction du cercle C de centre c et de rayon |ab| :
(1) Les cercles (a, c) et (c, a) se coupent en d et e.
(2) Les cercles (d, b) et (e, b) se recoupent en f.
(c, f) est le cercle C. -
edit : faute d'orthographe (pluriel)
Bonjour
À présent je cherche à me débarrasser de la règle
Mr Mascheroni y arrive avec un compas seul (il est l'un de ceux qui ont démontrés que toute construction à la règle non graduée et au compas est faisable au compas seul )
J'ai cherché à faire des choses avec un compas non verrouillable seul (certes c'est pas grand chose mais c'est seulement depuis ce soir que j'ai commencé)
Au compas non verrouillable (impossibilité de reporter une distance avec le compas) : trouver quatre points cocycliques d'un cercle dont le centre est le milieu d'un segment [AB]
(au compas seul les droites ne sont pas traçables mais on considère que deux points distincts forment une droite (ou un segment) )
construction par douze cercles (je n'arrive pas à en faire moins que douze)
et à partir de là le problème de Napoléon utilise quatre cercles pour trouver le centre (moi je le faisait en neuf cercles car je ne connaissais pas sa méthode -voir plus haut j'ai fait ça en neuf cercles- mais FM31 m'a montré ce théorème
le cercle bleu et les deux droites tracées en noir sont justes faites pour mettre le milieu (centre du cercle bleu ) en évidence mais ils ne sont pas utilisés pour construire KLMN à partir de AB
-
Une construction de Mascharoni qui vous intéressera peut-être
-
Bonjour
La même chose que tout à l'heure(construction au compas non verrouillable seul -donc sans règle et sans possibilité de reporter une distance au moyen du compas ) et là en rajoutant juste deux cercles dont l'intersection donne le milieu du segment [AB] et qui est aussi le centre des quatre points cocycliques KLMN de tout à l'heure(j'avais arrêté ma construction à ces quatre points)
le cercle et les deux droites en noir sont juste là pour mettre en évidence ce milieu mais ne servent pas au traçage
-
NB: le cercle bleu noté c est de centre I et qui passe par M(qui eux ont déjà été construits)
avec la notation des cercles que j'ai placé il se note $\Omega IM$
le cercle bleu noté d est de centre J et qui passe par L(qui eux ont déjà été construits)
avec la notation des cercles que j'ai placé il se note $\Omega JL$ -
Bonjour,
ne te permettra de rien construire du tout ou presqueIl est interdit de tracer des droites sécantes arbitrairement (tout comme il est interdit de se donner des points dans le plan comme on veut)
rien que la perpendiculaire à une droite donnée (sans points) passant par un point donné est impossible
dans toutes les constructions avec quelque outils que ce soit il est implicite que on a le droit de placer des points arbitraires dans le plan ou sur une courbe déja tracée
à la condition expresse que le résultat final de la construction ne dépende pas du choix arbitraire de ces points
ce que soland appelle des points "semi-connus" si j'ai bien compris. son histoire d'ajouter un instrument "pointeur" -
c'est super malin de répondre à un absent
je me suis fait viré du forum ce matin (c'est la dixième fois au moins depuis dix ans mais c'est la première fois qu'on me parle sur un de mes fils alors que je suis viré )
ceci dit dans ma figure de cette nuit A et B sont deux points distincts déjà construits
la construction au compas seul non verrouillable que j'ai fait donne le milieu de [AB]
le reste c'est de la philosophie sans intérêt
je trouve juste qu'il n'est pas correct de parler à ceux qui ne peuvent pas répondre
le cercle et les deux droites en noir sont juste là pour mettre en évidence ce milieu mais ne servent pas au traçage -
N'importe quoi, un forum n'est pas une messagerie instantanée !!
de plus préciser explicitement les règles du jeu exactes que l'on a à appliquer ce n'est pas de la philosophie...
En tout cas Mascheroni fait plus simple que toi pour tracer le milieu de AB, A et B donnés, au compas seul
ici modifiée par rapport à la construction d'origine de Mascheroni en : au compas "fermant" seul, celui qui ne sait que tracer des cercles de centre connu passant par un point connu, les anglophones disent "collapsing compass"
ça fait même un cercle de moins que la construction originelle, merci soland (dans une ancienne discussion)
suivre l'ordre des arcs numérotés, le sens des flèches et l'ordre alphabétique -
@chephip : "Tracer un cercle de rayon arbitraire centré sur la droite donnée D" se détaille ainsi :
Pointer un point a de D (pointeur), (on pointe un point semi-connu),
Pointer un point b du plan (pointeur),
Tracer le cercle (a, b) (compas-nv)
Si les droites D et E se coupent en p
le tracé de D rend p semi-connu et le tracé ultérieur de E le rend connu.
@ sicilia Mascheroni trouve le milieu de [ab] en six cercles :
(a,b) coupe (b,a) en c et d.
(c,d) recoupe (b,a) en e.
(e,a) coupe (a,b) en p et q.
(p,a) et (q,a) se recoupent en m cherché.
Il s'agit d'inverser e dans (a,b). -
@soland : je n'ai pas de problème pour utiliser des points arbitraires (que tu appelles semi-connus) c'est juste une question de vocabulaire et de rédaction. (de philosophie dirait sicilialand)
pour les constructions de Mascheroni, ce que tu cites n'est pas de lui mais ton adaptation personnelle : le truc pour construire E en économisant un cercle par rapport aux constructions de Mascheroni
(source :
"La géométrie du compas" par Mascheroni lui-même, traduction de Carette en 1798 - édition corrigée 1980 chez Blanchard, pas de ISBN)
il s'agit de la construction n° V qui économise encore un cercle de plus par rapport à sa construction n° III que j'ai donnée dans mon message précédent
Mascheroni donne au moins 6 constructions différentes de ce milieu et dit "on peut donner plusieurs autres solutions de ce problème ..."
il n'en donne explicitement que 5 plus une sixième dans le chapitre suivant (divisions en $2^n$)
peut être en a-t-il donné encore d'autres au détour d'une construction d'autre chose dans la suite du livre, pas vérifié.
la figure de cette construction V en renommant p et q en I et J pour garder ma règle de points construits en ordre alphabétique (P serait après M sinon)
pour économiser un cercle (construction V) par rapport à la III c'est au prix d'une précision de tracé moindre car les derniers cercles se coupent sous un angle plus aigu que dans la III
mais d'un point de vue théorique, la précision du tracé n'intervient pas du tout : ça se coupe en le point cherché et ça suffit. -
Bonsoir
ok mais quel intérêt de le faire en six cercles ?
Faut il attendre que Mr Mascheroni le fasse pour chercher à le faire?
Et si Mr Mascheroni ne le fait pas, comment le feriez vous? -
Nous n'habitons pas le même univers.
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